Partielle Differenzialgleichungen: Eine Einführung in analytische und numerische Methoden

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Partielle\rDifferenzialgleichungen......Page 3
ISBN 3827419425......Page 4
Vorwort......Page 6
Inhaltsverzeichnis......Page 8
1 Modellierung oder wie man auf eine Differenzialgleichung kommt......Page 11
1.1.1 Modellierung mit partiellen Differenzialgleichungen......Page 12
1.1.2 Modellierung ist nur der erste Schritt......Page 13
1.2.1 Bilanzgleichungen......Page 14
1.2.2 Von der Bilanzgleichung zur Differenzialgleichung......Page 15
1.2.3 Die lineare Transportgleichung......Page 16
1.2.5* Die Burgers-Gleichung......Page 17
1.3 Diffusion......Page 18
1.4 Die Wellengleichung......Page 19
1.5 Die Black-Scholes-Gleichung......Page 21
1.5.1 Grundlagen aus der Stochastik......Page 22
1.5.2 Black-Scholes-Modell......Page 23
1.5.3 Der faire Preis......Page 24
1.6.1 Transportprozesse......Page 27
1.6.2 Diffusions-Prozesse......Page 28
1.6.4 Die Laplace-Gleichung......Page 29
1.7.1* Die KdV-Gleichung......Page 32
Monge-Ampère-Gleichung......Page 33
1.7.3* Die Plattengleichung......Page 34
1.7.4* Navier-Stokes-Gleichungen......Page 35
Inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen......Page 36
1.7.5* Maxwell-Gleichungen......Page 37
1.8 Klassifikation partieller Differenzialgleichungen......Page 38
1.9* Kommentare zu Kapitel 1......Page 39
1.10 Aufgaben......Page 40
2 Kategorisierung und Charakteristiken......Page 42
2.1.1 Homogene Probleme......Page 43
2.1.2 Inhomogene Probleme......Page 49
2.1.3* Die Burgers-Gleichung......Page 50
2.2 Gleichungen zweiter Ordnung......Page 52
2.3* Nichtlineare Gleichungen zweiter Ordnung......Page 56
2.4* Gleichungen höherer Ordnung und Systeme......Page 57
2.5 Aufgaben......Page 58
3 Elementare Lösungsmethoden......Page 61
3.1.1 Die Lösungsformel von d\'Alembert auf R × R......Page 62
3.1.2 Die Wellengleichung auf einem Intervall......Page 64
3.2 Fourier-Reihen......Page 66
3.3.1 Das Dirichlet-Problem auf dem Einheitsquadrat......Page 73
3.3.2 Das Dirichlet-Problem auf der Kreisscheibe......Page 75
Variablen-Transformation auf Polarkoordinaten......Page 76
Trennung der Variablen......Page 77
3.3.3 Das elliptische Maximumprinzip......Page 79
3.3.4 Wohlgestelltheit des Dirichlet-Problems für Quadrat und Kreis......Page 81
3.4.1 Trennung der Variablen......Page 83
3.4.2 Das parabolische Maximumprinzip......Page 85
3.4.3 Wohlgestelltheit des parabolischen Anfangs-Randwertproblems fürein Intervall......Page 88
3.4.4 Die Wärmeleitungsgleichung im Rd......Page 90
3.5 Die Black-Scholes-Gleichung......Page 97
Beispiele......Page 103
Eigenschaften der Fourier-Transformation......Page 105
Die Umkehrformel......Page 107
Lösung von Differenzialgleichungen mittels Fourier-Transformation......Page 108
3.6.2* Die Laplace-Transformation......Page 111
3.7 Ausblick......Page 114
3.8 Aufgaben......Page 116
4 Hilbert-Räume......Page 119
4.1 Unitäre Räume......Page 120
4.2 Orthonormalbasen......Page 123
4.3 Vollständigkeit......Page 127
4.4 Orthogonale Projektionen......Page 128
4.5 Linearformen und Bilinearformen......Page 130
4.6 Schwache Konvergenz......Page 134
4.7 Stetige und kompakte Operatoren......Page 137
4.8 Der Spektralsatz......Page 138
4.9* Kommentare zu Kapitel 4......Page 146
4.10 Aufgaben......Page 148
5 Sobolev-Räume und Randwertaufgaben in einer Dimension......Page 150
5.1 Sobolev-Räume in einer Variablen......Page 151
5.2.1 Dirichlet-Randbedingungen......Page 159
5.2.2 Neumann-Randbedingungen......Page 161
5.2.3 Robin-Randbedingungen......Page 162
5.2.4 Elliptische Gleichungen mit gemischten Randbedingungen......Page 163
5.2.5 Unsymmetrische Differenzialoperatoren......Page 166
5.4 Aufgaben......Page 168
6 Hilbert-Raum-Methoden für elliptische Gleichungen......Page 172
6.1 Regularisierung......Page 173
6.2 Sobolev-Räume über......Page 179
6.3 Der Raum......Page 186
6.4 Die Verbandsoperationen auf......Page 189
6.5 Die Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen......Page 192
6.6 Sobolev-Räume und Fourier-Transformation......Page 195
6.7 Lokale Regularität......Page 200
6.8 Inhomogene Dirichlet-Randbedingungen......Page 205
6.9 Das Dirichlet-Problem......Page 208
6.10 Elliptische Gleichungen mit Dirichlet-Randbedingungen......Page 216
6.11 H2-Regularität......Page 218
6.12* Kommentare zu Kapitel 6......Page 221
6.13 Aufgaben......Page 222
7 Neumannund Robin-Randbedingungen......Page 226
7.1 Der Satz von Gauß......Page 227
7.2 Beweis des Satzes von Gauß......Page 232
7.3 Die Fortsetzungseigenschaft......Page 237
7.4 Die Poisson-Gleichung mit Neumann-Randbedingungen......Page 242
7.5 Der Spursatz und Robin-Randbedingungen......Page 245
7.6* Kommentare zu Kapitel 7......Page 248
7.7 Aufgaben......Page 249
8 Spektralzerlegung und Evolutionsgleichungen......Page 252
8.1 Ein vektorwertiges Anfangswertproblem......Page 253
8.2 Die Wärmeleitungsgleichung: Dirichlet-Randbedingungen......Page 256
8.3 Die Wärmeleitungsgleichung: Robin-Randbedingungen......Page 262
8.4 Die Wellengleichung......Page 264
8.5 Inhomogene Evolutionsgleichungen......Page 269
8.7 Aufgaben......Page 275
9 Numerische Verfahren......Page 278
Randwertprobleme......Page 280
Diskretisierung......Page 281
Fehleranalysis......Page 283
Numerische Lösung und Experimente......Page 287
Diskretisierung......Page 289
Numerische Lösung......Page 291
9.2.1 Galerkin-Verfahren......Page 294
9.2.2 Triangulierung und Approximation auf Dreiecken......Page 296
9.2.4 Normen auf einem Dreieck......Page 297
9.2.5 Transformation auf ein Referenzelement......Page 299
9.2.6 Interpolation mit Finiten Elementen......Page 302
9.2.7 Finite-Elemente-Räume......Page 304
9.2.8 Das Poisson-Problem auf Polygonen......Page 307
Eine L2-Abschätzung......Page 309
Eine suboptimale L∞-Abschätzung......Page 310
9.2.9 Die Steifigkeitsmatrix und das lineare Gleichungssystem......Page 311
Eindimensionale Beispiele......Page 312
Zweidimensionale Beispiele......Page 314
9.3* Ergänzungen und Erweiterungen......Page 316
9.4.1 Finite Differenzen......Page 318
9.4.2 Finite Elemente......Page 322
9.5* Kommentare zu Kapitel 9......Page 329
9.6 Aufgaben......Page 330
10 Maple oder manchmal hilft der Computer......Page 333
10.1.1 Elementare Beispiele......Page 334
10.1.2 Lösung mittels Fourier-Transformation......Page 335
10.1.5 Funktionsauswertung......Page 338
10.2 Aufgaben......Page 339
A.1 Banach-Räume und lineare Operatoren......Page 342
A.3 Integration......Page 344
Literaturverzeichnis......Page 346
Personenregister......Page 349
Symbolverzeichnis......Page 351
Index......Page 352