Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker

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Partielle\rDifferentialgleichungen\rund funktionalanalytische\rGrundlagen, 4. Auflage......Page 3
ISBN 9783834808615......Page 4
Vorwort......Page 8
Inhaltsverzeichnis......Page 12
Teil I Funktionalanalysis......Page 23
1.1.1 Definition und Beispiele......Page 27
1.1.3 Konvergenz in metrischen Räumen. Vollständigkeit......Page 32
1.1.4 Bestapproximation in metrischen Räumen......Page 40
1.1.5 Der Banachsche Fixpunktsatz. Anwendungen......Page 41
1.2.1 Lineare Räume......Page 51
1.2.2 Normierte Räume. Banachräume......Page 55
1.3.1 Skalarprodukträume......Page 63
1.3.2 Hilberträume......Page 69
1.3.3 Ein Approximationsproblem......Page 73
1.3.4 Der Zerlegungssatz......Page 77
1.3.5 Orthonormalsysteme in Hilberträumen......Page 83
1.3.6 Fourierentwicklung in Hilberträumen......Page 89
1.3.7 Struktur von Hilberträumen......Page 91
2.1.1 Stetigkeit und Beschränktheit. Operatornorm......Page 97
2.1.2 Folgen und Reihen von beschränkten Operatoren......Page 103
2.1.3 Die Neumannsche Reihe. Anwendungen......Page 104
2.1.4 Lineare Funktionale in normierten Räumen......Page 110
2.1.5 Der Rieszsche Darstellungssatz......Page 112
2.1.6 Adjungierte und symmetrische Operatoren......Page 114
2.2 Fredholmsche Theorie in Skalarprodukträumen......Page 118
2.2.1 Vollstetige Operatoren......Page 119
2.2.2 Ausgeartete Operatoren......Page 122
2.2.3 Die Fredholmsche Alternative......Page 124
2.2.4 Der Fredholmsche Alternativsatz in Hilberträumen......Page 126
2.2.5 Der Fredholmsche Alternativsatz in Skalarprodukträumen......Page 131
2.3 Symmetrische vollstetige Operatoren......Page 141
2.3.1 Eigenwerte und -elemente vollstetiger symmetrischer Operatoren. Fourierentwicklung......Page 142
2.3.2 Zusammenfassung......Page 150
2.3.3 Anwendung auf symmetrische Integraloperatoren......Page 151
2.3.4 Ein Sturm-Liouvillesches Eigenwertproblem......Page 153
2.3.5 Das Spektrum eines symmetrischen Operators......Page 161
3.1.1 Motivierung......Page 169
3.1.2 Definition von L2(Ω)......Page 171
3.1.3 Einbettung von C∞0 (Ω) in L2(Ω)......Page 172
3.1.4 Restriktion und norminvariante Erweiterung von L2-Funktionalen......Page 177
3.1.5 Produkt von L2-Funktionalen mit stetigen Funktionen......Page 178
3.1.6 Differentiation in L2(Ω)......Page 180
3.2.1 Der Sobolevraum Hm(Ω)......Page 185
3.2.2 Der Sobolevraum H◦m(Ω)......Page 186
3.2.3 Ergänzungen......Page 188
Teil II Partielle Differentialgleichungen......Page 193
4.1.1 Partielle Differentialgleichungen beliebiger Ordnung......Page 195
4.1.2 Beispiele......Page 196
4.1.3 Herleitung von partiellen Differentialgleichungen......Page 198
4.2.1 Zurückführung auf Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen......Page 202
4.2.2 Anwendung auf die Kontinuitätsgleichung......Page 205
4.3.1 Klassifikation......Page 206
4.3.2 Separationsansätze......Page 209
4.4 Der Reynoldssche Transportsatz......Page 211
5.1.1 Hilfsmittel aus der Vektoranalysis......Page 217
5.1.2 Radialsymmetrische Lösungen......Page 219
5.1.3 Die Darstellungsformel für Innengebiete......Page 220
5.1.4 Mittelwertformel und Maximumprinzip......Page 225
5.1.5 Flächen- und Volumenpotentiale......Page 228
5.2.1 Volumenpotentiale und inhomogene Schwingungsgleichung......Page 230
5.2.2 Die Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung......Page 237
5.2.3 Die Darstellungsformel für Außengebiete......Page 246
5.2.4 Ganzraumprobleme......Page 249
5.3 Randwertprobleme......Page 252
5.3.1 Problemstellungen und Eindeutigkeitsfragen......Page 253
5.3.2 Sprungrelationen......Page 259
5.3.3 Lösungsnachweise mit Integralgleichungsmethoden......Page 261
5.4.1 Die Greensche Funktion zum Dirichletschen Innenraumproblem......Page 275
5.4.2 Eigenwerte und Eigenfunktionen des Laplace-Operators......Page 278
5.5.1 Die Fréchet-Ableitung......Page 281
5.5.2 Variationsprobleme......Page 284
5.5.3 Elliptische Randwertprobleme und äquivalente Variationsprobleme......Page 289
5.5.4 Prinzip der Finite-Elemente-Methode (FEM)......Page 295
5.5.5 Diskretes Variationsproblem......Page 296
5.5.6 Beispiele......Page 301
6.1 Rand- und Anfangswertprobleme......Page 313
6.1.1 Ein Rand- und Anfangswertproblem mit Dirichletscher Randbedingung......Page 314
6.1.2 Die Eindeutigkeitsfrage......Page 315
6.1.3 Lösungsbestimmung mittels Eigenwerttheorie......Page 316
6.2 Ein Anfangswertproblem......Page 318
6.2.1 Aufgabenstellung......Page 319
6.2.3 Lösungsbestimmung mittels Fouriertransformation......Page 320
7.1.1 Anfangswertprobleme im R1......Page 325
7.1.2 Anfangswertprobleme im R3......Page 328
7.1.3 Anfangswertprobleme im R2 (»Method of descent«)......Page 335
7.1.4 Das Huygenssche Prinzip......Page 337
7.1.5 Bemerkungen zu Rand- und Anfangswertproblemen......Page 338
7.2.1 Das Duhamelsche Prinzip......Page 342
7.2.2 Die Kirchhoffsche Formel......Page 344
7.2.3 Erzwungene Schwingungen......Page 345
8.1.1 Stationäre Maxwellsche Gleichungen und vektorielle Schwingungsgleichung......Page 349
8.1.2 Grundlösungen......Page 351
8.1.3 Asymptotisches Verhalten der Grundlösungen. Ausstrahlungsbedingungen......Page 352
8.1.4 Darstellungsformeln......Page 353
8.2.2 Außenraumprobleme......Page 356
8.2.3 Innenraumprobleme......Page 361
9.1 Kompressible und inkompressible Strömungen......Page 363
9.2 Bilanzgleichungen und Erhaltungsgleichungen......Page 365
9.3 Charakteristiken im skalaren eindimensionalen Fall......Page 371
9.4 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten......Page 374
9.5 Schwache Lösungen......Page 383
9.6 Die Euler-Gleichungen......Page 393
10.1.1 Ein schwaches Dirichletproblem für die inhomogene Schwingungsgleichung......Page 403
10.1.2 Nachweis einer schwachen Lösung......Page 405
10.1.3 Ein äquivalentes schwaches Problem......Page 407
10.2.1 Das klassische Dirichletproblem......Page 408
10.2.2 Das schwache Dirichletproblem......Page 409
10.2.3 Ein äquivalentes schwaches Problem......Page 410
10.2.4 Schwache Lösungen bei strikt positiven elliptischen Differentialoperatoren......Page 411
10.2.5 Schwache Lösungen bei gleichmäßig elliptischen Differentialoperatoren......Page 413
10.2.6 Eigenwerte und -elemente des schwachen Dirichletproblems......Page 419
10.3.1 Ein schwaches Neumannproblem für die inhomogene Schwingungsgleichung......Page 421
10.3.3 Ausblick auf den allgemeinen Fall......Page 427
10.4.1 Innenregularität......Page 429
10.4.2 Randregularität......Page 430
Anhang......Page 437
A.1 Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach......Page 439
A.2 Der Satz von Lax-Milgram......Page 441
B Lösungen zu den Übungen......Page 443
Symbole......Page 475
Literaturverzeichnis......Page 477
Stichwortverzeichnis......Page 485