Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker, 5. Auflage

Cover
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Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen, 5. Auflage......Page 3
ISBN 3834812943......Page 4
Vorwort......Page 6
Vorwort zur fünften Auflage......Page 8
Inhaltsverzeichnis......Page 9
Teil I Funktionalanalysis......Page 19
1.1.1 Definition und Beispiele......Page 21
1.1.3 Konvergenz in metrischen Räumen. Vollständigkeit......Page 26
1.1.4 Bestapproximation in metrischen Räumen......Page 34
1.1.5 Der Banachsche Fixpunktsatz. Anwendungen......Page 35
1.2.1 Lineare Räume......Page 45
1.2.2 Normierte Räume. Banachräume......Page 49
1.3.1 Skalarprodukträume......Page 57
1.3.2 Hilberträume......Page 63
1.3.3 Ein Approximationsproblem......Page 67
1.3.4 Der Zerlegungssatz......Page 72
1.3.5 Orthonormalsysteme in Hilberträumen......Page 77
1.3.6 Fourierentwicklung in Hilberträumen......Page 84
1.3.7 Struktur von Hilberträumen......Page 86
2.1.1 Stetigkeit und Beschränktheit. Operatornorm......Page 90
2.1.2 Folgen und Reihen von beschränkten Operatoren......Page 96
2.1.3 Die Neumannsche Reihe. Anwendungen......Page 97
2.1.4 Lineare Funktionale in normierten Räumen......Page 103
2.1.5 Der Rieszsche Darstellungssatz......Page 105
2.1.6 Adjungierte und symmetrische Operatoren......Page 107
2.2 Fredholmsche Theorie in Skalarprodukträumen......Page 111
2.2.1 Vollstetige Operatoren......Page 112
2.2.2 Ausgeartete Operatoren......Page 115
2.2.3 Die Fredholmsche Alternative......Page 117
2.2.4 Der Fredholmsche Alternativsatz in Hilberträumen......Page 119
2.2.5 Der Fredholmsche Alternativsatz in Skalarprodukträumen......Page 124
2.3 Symmetrische vollstetige Operatoren......Page 134
2.3.1 Eigenwerte und -elemente vollstetiger symmetrischer Operatoren.Fourierentwicklung......Page 135
2.3.2 Zusammenfassung......Page 143
2.3.3 Anwendung auf symmetrische Integraloperatoren......Page 144
2.3.4 Ein Sturm-Liouvillesches Eigenwertproblem......Page 146
2.3.5 Das Spektrum eines symmetrischen Operators......Page 154
3.1.1 Motivierung......Page 162
3.1.2 Definition von L2(Ω)......Page 164
3.1.3 Einbettung von C∞0 (Ω) in L2(Ω)......Page 165
3.1.4 Restriktion und norminvariante Erweiterung von L2-Funktionalen......Page 170
3.1.5 Produkt von L2-Funktionalen mit stetigen Funktionen......Page 171
3.1.6 Differentiation in L2(Ω)......Page 173
3.2.1 Der Sobolevraum Hm(Ω)......Page 178
3.2.2 Der Sobolevraum H◦m(Ω)......Page 179
3.2.3 Ergänzungen......Page 181
Teil II Partielle Differentialgleichungen......Page 185
4.1.1 Partielle Differentialgleichungen beliebiger Ordnung......Page 186
4.1.2 Beispiele......Page 187
4.1.3 Herleitung von partiellen Differentialgleichungen......Page 189
4.2.1 Zurückführung auf Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen......Page 193
4.2.2 Anwendung auf die Kontinuitätsgleichung......Page 196
4.3.1 Klassifikation......Page 197
4.3.2 Separationsansätze......Page 200
4.4 Der Reynoldssche Transportsatz......Page 203
5.1.1 Hilfsmittel aus der Vektoranalysis......Page 208
5.1.2 Radialsymmetrische Lösungen......Page 210
5.1.3 Die Darstellungsformel für Innengebiete......Page 211
5.1.4 Mittelwertformel und Maximumprinzip......Page 216
5.1.5 Flächen- und Volumenpotentiale......Page 219
5.2.1 Volumenpotentiale und inhomogene Schwingungsgleichung......Page 222
5.2.2 Die Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung......Page 229
5.2.3 Die Darstellungsformel für Außengebiete......Page 238
5.2.4 Ganzraumprobleme......Page 240
5.3 Randwertprobleme......Page 243
5.3.1 Problemstellungen und Eindeutigkeitsfragen......Page 245
5.3.2 Sprungrelationen......Page 250
5.3.3 Lösungsnachweise mit Integralgleichungsmethoden......Page 252
5.4.1 Die Greensche Funktion zum Dirichletschen Innenraumproblem......Page 266
5.4.2 Eigenwerte und Eigenfunktionen des Laplace-Operators......Page 270
5.5.1 Die Fréchet-Ableitung......Page 273
5.5.2 Variationsprobleme......Page 276
5.5.3 Elliptische Randwertprobleme und äquivalente Variationsprobleme......Page 281
5.5.4 Prinzip der Finite-Elemente-Methode (FEM)......Page 286
5.5.5 Diskretes Variationsproblem......Page 288
5.5.6 Beispiele......Page 293
5.5.7 Ausblick auf weitere Möglichkeiten der Finite-Elemente-Methode......Page 299
6.1 Rand- und Anfangswertprobleme......Page 305
6.1.1 Ein Rand- und Anfangswertproblem mit Dirichletscher Randbedingung......Page 306
6.1.2 Die Eindeutigkeitsfrage......Page 307
6.1.3 Lösungsbestimmung mittels Eigenwerttheorie......Page 308
6.2 Ein Anfangswertproblem......Page 310
6.2.1 Aufgabenstellung......Page 311
6.2.3 Lösungsbestimmung mittels Fouriertransformation......Page 312
7.1.1 Anfangswertprobleme im......Page 316
7.1.2 Anfangswertprobleme im......Page 319
7.1.3 Anfangswertprobleme im R2 (»Method of descent«)......Page 326
7.1.4 Das Huygenssche Prinzip......Page 328
7.1.5 Bemerkungen zu Rand- und Anfangswertproblemen......Page 329
7.2.1 Das Duhamelsche Prinzip......Page 333
7.2.2 Die Kirchhoffsche Formel......Page 335
7.2.3 Erzwungene Schwingungen......Page 336
8.1.1 Stationäre Maxwellsche Gleichungen und vektorielle Schwingungsgleichung......Page 339
8.1.2 Grundlösungen......Page 341
8.1.3 Asymptotisches Verhalten der Grundlösungen. Ausstrahlungsbedingungen......Page 342
8.1.4 Darstellungsformeln......Page 343
8.2.2 Außenraumprobleme......Page 346
8.2.3 Innenraumprobleme......Page 351
9.1 Kompressible und inkompressible Strömungen......Page 353
9.2 Bilanzgleichungen und Erhaltungsgleichungen......Page 355
9.3 Charakteristiken im skalaren eindimensionalen Fall......Page 361
9.4 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten......Page 365
9.5 Schwache Lösungen......Page 374
9.6 Die Euler-Gleichungen......Page 383
10.1.1 Ein schwaches Dirichletproblem für die inhomogene Schwingungsgleichung......Page 392
10.1.2 Nachweis einer schwachen Lösung......Page 394
10.1.3 Ein äquivalentes schwaches Problem......Page 396
10.2.1 Das klassische Dirichletproblem......Page 397
10.2.2 Das schwache Dirichletproblem......Page 398
10.2.3 Ein äquivalentes schwaches Problem......Page 399
10.2.4 Schwache Lösungen bei strikt positiven elliptischen Differentialoperatoren......Page 400
10.2.5 Schwache Lösungen bei gleichmäßig elliptischen Differentialoperatoren......Page 402
10.2.6 Eigenwerte und -elemente des schwachen Dirichletproblems......Page 408
10.3.1 Ein schwaches Neumannproblem für die inhomogene Schwingungsgleichung......Page 410
10.3.3 Ausblick auf den allgemeinen Fall......Page 416
10.4.1 Innenregularität......Page 418
10.4.2 Randregularität......Page 419
Anhang......Page 426
A.1 Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach......Page 427
A.2 Der Satz von Lax-Milgram......Page 429
B Lösungen zu den Übungen......Page 431
Symbole......Page 462
Literaturverzeichnis......Page 464
E......Page 472
I......Page 473
N......Page 474
S......Page 475
Z......Page 476