Partially Specified Matrices and Operators: Classification, Completion, Applications

این کتاب به جهت جدیدی در جبر خطی و تئوری عملگر اختصاص دارد که با متغیرهای ماتریس ها و عملگرهای تا حدی مشخص شده و تحلیل طیفی تکمیل آنها سروکار دارد. نظریه توسعه یافته حول دو مشکل عمده در مورد ماتریس هایی است که بخشی از ورودی ها داده شده و بقیه نامشخص هستند. اولی یک مشکل طبقه بندی است و هدف آن ساده سازی بخش داده شده با کمک شباهت های قابل قبول است. نتایج در اینجا ممکن است به عنوان یک تعمیم گسترده از شکل متعارف اردن دیده شود. مسئله دوم، مسئله تکمیل مقدار ویژه نامیده می شود و از آن می خواهد که همه مقادیر ویژه ممکن و چندگانگی ماتریس هایی را که با پر کردن ورودی های نامشخص به دست می آید، توصیف کند. هر دو مشکل نیز در یک چارچوب عملگر با ابعاد نامحدود در نظر گرفته می شوند. بخش بزرگی از کتاب به کاربردهای تئوری و تحلیل ماتریس، یعنی مسائل تثبیت در نظریه سیستم های ریاضی، مسائل فاکتورسازی و درونیابی وینر-هوپف برای چندجمله ای های ماتریس و توابع ماتریس گویا، نظریه ساختار کرونکر مدادهای خطی، می پردازد. و به عملگرهایی که همه جا تعریف نشده اند. مسئله تکمیل مقدار ویژه دارای یک معکوس مرتبط طبیعی است که به عنوان یک مشکل محدودیت ظاهر می شود. تجزیه و تحلیل این دو مشکل اغلب زمانی ساده تر است که راه حلی برای مشکل طبقه بندی مربوطه در دسترس باشد.

This book is devoted to a new direction in linear algebra and operator theory that deals with the invariants of partially specified matrices and operators, and with the spectral analysis of their completions. The theory developed centers around two major problems concerning matrices of which part of the entries are given and the others are unspecified. The first is a classification problem and aims at a simplification of the given part with the help of admissible similarities. The results here may be seen as a far reaching generalization of the Jordan canonical form. The second problem is called the eigenvalue completion problem and asks to describe all possible eigenvalues and their multiplicities of the matrices which one obtains by filling in the unspecified entries. Both problems are also considered in an infinite dimensional operator framework. A large part of the book deals with applications to matrix theory and analysis, namely to stabilization problems in mathematical system theory, to problems of Wiener-Hopf factorization and interpolation for matrix polynomials and rational matrix functions, to the Kronecker structure theory of linear pencils, and to non­ everywhere defined operators. The eigenvalue completion problem has a natural associated inverse, which appears as a restriction problem. The analysis of these two problems is often simpler when a solution of the corresponding classification problem is available.