Partial Differential Equations: New Methods for Their Treatment and Solution

هدف این کتاب ارائه چند روش جدید در درمان معادلات دیفرانسیل جزئی است. برخی از این روش ها هنگامی که با کامپیوتر دیجیتال ترکیب می شوند منجر به الگوریتم های عددی موثر می شوند. همچنین فصل مفیدی در مورد توابع گرین ارائه شده است که پس از مقدمه ای به روش های جدید بدست آوردن توابع گرین برای عملگرهای دیفرانسیل جزئی تعمیم می دهد. در نهایت مطالب بسیار جدیدی در مورد حل معادلات دیفرانسیل جزئی با روش تجزیه آدومین ارائه شده است. این روش می‌تواند راه‌حل‌های قابل محاسبه واقعی را برای موارد خطی یا غیرخطی حتی برای غیرخطی‌های قوی، و همچنین برای موارد قطعی یا تصادفی - حتی اگر تصادفی قوی در میان باشد، ارائه دهد. چند مثال جالب در اینجا مورد بحث قرار می گیرد و قرار است کتابی با کاربردهای مرزی در فیزیک و مهندسی دنبال شود. در فصل اول نشان داده شده است که استفاده از عملگرهای مثبت می تواند منجر به همگرایی یکنواخت برای کلاس های مختلف معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی شود. در فصل دوم، کاربرد تکنیک حفاظت نشان داده شده است. این تکنیک ها با اصول فیزیکی پیشنهاد می شوند. در فصل سوم نشان داده شده است که برنامه‌ریزی دینامیکی که برای مسائل متغیر اعمال می‌شود منجر به کلاس‌های جالبی از معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی می‌شود. در فصل چهارم، این موضوع با جزئیات بیشتری بررسی شده است. در فصل پنجم نشان می دهیم. که استفاده از تبدیل پیشنهاد شده توسط برنامه نویسی پویا منجر به روش جدیدی از تقریب های متوالی می شود.

The purpose of this book is to present some new methods in the treatment of partial differential equations. Some of these methods lead to effective numerical algorithms when combined with the digital computer. Also presented is a useful chapter on Green's functions which generalizes, after an introduction, to new methods of obtaining Green's functions for partial differential operators. Finally some very new material is presented on solving partial differential equations by Adomian's decomposition methodology. This method can yield realistic computable solutions for linear or non­ linear cases even for strong nonlinearities, and also for deterministic or stochastic cases - again even if strong stochasticity is involved. Some interesting examples are discussed here and are to be followed by a book dealing with frontier applications in physics and engineering. In Chapter I, it is shown that a use of positive operators can lead to monotone convergence for various classes of nonlinear partial differential equations. In Chapter II, the utility of conservation technique is shown. These techniques are suggested by physical principles. In Chapter III, it is shown that dyn~mic programming applied to variational problems leads to interesting classes of nonlinear partial differential equations. In Chapter IV, this is investigated in greater detail. In Chapter V, we show. that the use of a transformation suggested by dynamic programming leads to a new method of successive approximations.