Partial Differential Equations VI: Elliptic and Parabolic Operators

0. 1. محدوده مقاله. این مقاله عمدتاً به اپراتورهای ذکر شده در عنوان اختصاص دارد. به طور خاص تر، ما عملگرهای دیفرانسیل بیضوی و شبه دیفرانسیل را با نمادهای بی نهایت صاف روی منیفولدهای بسته بی نهایت صاف در نظر می گیریم. ه. منیفولدهای فشرده بدون مرز ما همچنین به برخی از انواع نظریه عملگرهای بیضوی در !Rn اشاره می کنیم. مقاله جداگانه ای (آگرانوویچ 1993) به مسائل مرزی بیضوی برای معادلات و سیستم های دیفرانسیل جزئی بیضوی اختصاص داده خواهد شد. اکنون موضوعات اصلی مورد بحث در مقاله را فهرست می کنیم. اول از همه، ما قضایای پوندی را در مورد ویژگی فردهولم عملگرهای بیضوی، در مورد صافی جواب معادلات بیضوی، و در مورد بیضی بودن با پارامتر تر، در حل پذیری منحصر به فرد آنها بررسی می کنیم. پارامتریکس برای عملگر بیضی A (و A-). . J) با استفاده از حساب دیفرانسیل کاذب همچنین برای عملگرهای !Rn ساخته می شود که ابتدا در یک حالت ساده با تخمین یکنواخت در x نمادها مشخص شده است. به عنوان فضاهای کاربردی عمدتاً از فضاهای Sobolev £ - 2 استفاده می کنیم. ما توابع عملگرهای بیضوی و با جزئیات بیشتر برخی از توابع ساده و خواص هسته آنها را در نظر می گیریم. این پایه‌ای را برای بحث در مورد ویژگی‌های طیفی عملگرهای بیضوی تشکیل می‌دهد که سعی می‌کنیم در کلیت حداکثری انجام دهیم. ه. به طور کلی، بدون فرض خود پیوستگی. این امر مستلزم ارائه برخی مفاهیم و قضایای نظریه عملگرهای خطی غیرمرتبط در فضای انتزاعی هیلبرت است.

0. 1. The Scope of the Paper. This article is mainly devoted to the oper­ ators indicated in the title. More specifically, we consider elliptic differential and pseudodifferential operators with infinitely smooth symbols on infinitely smooth closed manifolds, i. e. compact manifolds without boundary. We also touch upon some variants of the theory of elliptic operators in !Rn. A separate article (Agranovich 1993) will be devoted to elliptic boundary problems for elliptic partial differential equations and systems. We now list the main topics discussed in the article. First of all, we ex­ pound theorems on Fredholm property of elliptic operators, on smoothness of solutions of elliptic equations, and, in the case of ellipticity with a parame­ ter, on their unique solvability. A parametrix for an elliptic operator A (and A-). . J) is constructed by means of the calculus of pseudodifferential also for operators in !Rn, which is first outlined in a simple case with uniform in x estimates of the symbols. As functional spaces we mainly use Sobolev £ - 2 spaces. We consider functions of elliptic operators and in more detail some simple functions and the properties of their kernels. This forms a foundation to discuss spectral properties of elliptic operators which we try to do in maxi­ mal generality, i. e. , in general, without assuming selfadjointness. This requires presenting some notions and theorems of the theory of nonselfadjoint linear operators in abstract Hilbert space.