Partial Differential Equations

PART III: THEORY FOR NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS......Page 
1.1. Partial differential equations......Page 14
1.2.1. Single partial differential equations......Page 16
1.2.2. Systems of partial differential equations......Page 19
1.3.2. Weak solutions and regularity......Page 20
1.4. Overview......Page 22
1.5. Problems......Page 25
2. Four Important Linear PDE......Page 27
2.1.1. Initial-value problem......Page 28
2.1.2. Nonhomogeneous problem......Page 29
2.2. Laplace’s equation......Page 30
2.2.1. Fundamental solution......Page 31
2.2.2. Mean-value formulas......Page 35
2.2.3. Properties of harmonic functions......Page 37
2.2.4. Green’s function......Page 43
2.2.5. Energy methods......Page 51
2.3. Heat equation......Page 54
2.3.1. Fundamental solution......Page 55
2.3.2. Mean-value formula......Page 61
2.3.3. Properties of solutions......Page 64
2.3.4. Energy methods......Page 72
2.4. Wave equation......Page 75
2.4.1. Solution by spherical means......Page 77
2.4.2. Nonhomogeneous problem......Page 91
2.4.3. Energy methods......Page 93
2.5. Problems......Page 95
2.6. References......Page 99
3. Nonlinear First-Order PDE......Page 100
3.1.1. Complete integrals......Page 101
3.1.2. New solutions from envelopes......Page 103
3.2.1. Derivation of characteristic ODE......Page 106
3.2.2. Examples......Page 108
3.2.3. Boundary conditions......Page 112
3.2.4. Local solution......Page 115
3.2.5. Applications......Page 119
3.3. Introduction to Hamilton-Jacobi equations......Page 124
3.3.1. Calculus of variations, Hamilton’s ODE......Page 125
3.3.2. Legendre transform, Hopf-Lax formula......Page 130
3.3.3. Weak solutions, uniqueness......Page 138
3.4. Introduction to conservation laws......Page 145
3.4.1. Shocks, entropy condition......Page 146
3.4.2. Lax-Oleinik formula......Page 153
3.4.3. Weak solutions, uniqueness......Page 158
3.4.4. Riemann’s problem......Page 163
3.4.5. Long time behavior......Page 166
3.5. Problems......Page 171
3.6. References......Page 174
4.1. Separation of variables......Page 175
4.2.1. Plane and traveling waves, solitons......Page 180
4.2.2. Similarity under scaling......Page 188
4.3.1. Fourier transform......Page 190
4.3.2. Laplace transform......Page 199
4.4.1. Hopf-Cole transformation......Page 202
4.4.2. Potential functions......Page 204
4.4.3. Hodograph and Legendre transforms......Page 205
4.5.1. Singular perturbations......Page 207
4.5.2. Laplace’s method......Page 212
4.5.3. Geometric optics, stationary phase......Page 214
4.5.4. Homogenization......Page 226
4.6.1. Noncharacteristic surfaces......Page 229
4.6.2. Real analytic functions......Page 234
4.6.3. Cauchy-Kovalevskaya Theorem......Page 236
4.7. Problems......Page 241
4.8. References......Page 243
5. Sobolev Spaces......Page 245
5.1. Holder spaces......Page 246
5.2. Sobolev spaces......Page 247
5.2.1. Weak derivatives......Page 248
5.2.2. Definition of Sobolev spaces......Page 250
5.2.3. Elementary properties......Page 253
5.3.1. Interior approximation by smooth functions......Page 256
5.3.2. Approximation by smooth functions......Page 257
5.3.3. Global approximation by smooth functions......Page 258
5.4. Extensions......Page 260
5.5. Traces......Page 263
5.6. Sobolev inequalities......Page 267
5.6.1. Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality......Page 268
5.6.2. Morrey’s inequality......Page 272
5.6.3. General Sobolev inequalities......Page 275
5.7. Compactness......Page 277
5.8.1. Poincare’s inequalities......Page 281
5.8.2. Difference quotients......Page 283
5.8.3. Differentiability a.e......Page 286
5.8.4. Fourier transform methods......Page 288
5.9.1. The space H_1......Page 289
5.9.2. Spaces involving time......Page 291
5.10. Problems......Page 295
5.11. References......Page 298
6.1.1. Elliptic equations......Page 299
6.1.2. Weak solutions......Page 301
6.2.1. Lax-Milgram Theorem......Page 303
6.2.2. Energy estimates......Page 305
6.2.3. Fredholm alternative......Page 308
6.3. Regularity......Page 314
6.3.1. Interior regularity......Page 315
6.3.2. Boundary regularity......Page 322
6.4. Maximum principles......Page 332
6.4.1. Weak maximum principle......Page 333
6.4.2. Strong maximum principle......Page 336
6.4.3. Harnack’s inequality......Page 339
6.5.1. Eigenvalues of symmetric elliptic operators......Page 340
6.5.2. Eigenvalues of nonsymmetric elliptic operators......Page 346
6.6. Problems......Page 351
6.7. References......Page 353
7.1. Second-order parabolic equations......Page 354
7.1.1. Definitions......Page 355
7.1.2. Existence of weak solutions......Page 358
7.1.3. Regularity......Page 363
7.1.4. Maximum principles......Page 372
7.2.1. Definitions......Page 382
7.2.2. Existence of weak solutions......Page 385
7.2.3. Regularity......Page 392
7.2.4. Propagation of disturbances......Page 399
7.2.5. Equations in two variables......Page 402
7.3.1. Definitions......Page 405
7.3.2. Symmetric hyperbolic systems......Page 407
7.3.3. Systems with constant coefficients......Page 413
7.4. Semigroup theory......Page 417
7.4.1. Definitions, elementary properties......Page 418
7.4.2. Generating contraction semigroups......Page 423
7.4.3. Applications......Page 425
7.5. Problems......Page 430
7.6. References......Page 432
8.1.1. Basic ideas......Page 434
8.1.2. First variation, Euler-Lagrange equation......Page 435
8.1.3. Second variation......Page 439
8.1.4. Systems......Page 440
8.2.1. Coercivity, lower semicontinuity......Page 446
8.2.2. Convexity......Page 448
8.2.3. Weak solutions of Euler-Lagrange equation......Page 453
8.2.4. Systems......Page 456
8.3.1. Second derivative estimates......Page 461
8.3.2. Remarks on higher regularity......Page 464
8.4.1. Nonlinear eigenvalue problems......Page 466
8.4.2. Unilateral constraints, variational inequalities......Page 470
8.4.3. Harmonic maps......Page 473
8.4.4. Incompressibility......Page 475
8.5.1. Mountain Pass Theorem......Page 479
8.5.2. Application to semilinear elliptic PDE......Page 485
8.6. Problems......Page 489
8.7. References......Page 492
9.1. Monotonicity methods......Page 494
9.2.1. Banach’s Fixed Point Theorem......Page 501
9.2.2. Schauder’s, Schaefer’s Fixed Point Theorems......Page 505
9.3. Method of subsolutions and supersolutions......Page 510
9.4.1. Blow-up......Page 514
9.4.2. Derrick-Pohozaev identity......Page 517
9.5.1. Star-shaped level sets......Page 520
9.5.2. Radial symmetry......Page 521
9.6.1. Convex functions on Hilbert spaces......Page 526
9.6.2. Subdifferentials, nonlinear semigroups......Page 531
9.6.3. Applications......Page 537
9.7. Problems......Page 539
9.8. References......Page 541
10.1. Introduction, viscosity solutions......Page 542
10.1.1. Definitions......Page 544
10.1.2. Consistency......Page 546
10.2. Uniqueness......Page 549
10.3. Control theory, dynamic programming......Page 553
10.3.1. Introduction to control theory......Page 554
10.3.2. Dynamic programming......Page 555
10.3.3. Hamilton-Jacobi-Bellman equation......Page 557
10.3.4. Hopf-Lax formula revisited......Page 563
10.4. Problems......Page 566
10.5. References......Page 567
11.1. Introduction......Page 569
11.1.1. Integral solutions......Page 572
11.1.2. Traveling waves, hyperbolic systems......Page 574
11.2.1. Simple waves......Page 581
11.2.2. Rarefaction waves......Page 584
11.2.3. Shock waves, contact discontinuities......Page 585
11.2.4. Local solution of Riemann’s problem......Page 592
11.3. Systems of two conservation laws......Page 594
11.3.1. Riemann invariants......Page 595
11.3.2. Nonexistence of smooth solutions......Page 599
11.4. Entropy criteria......Page 601
11.4.1. Vanishing viscosity, traveling waves......Page 602
11.4.2. Entropy/entropy flux pairs......Page 606
11.4.3. Uniqueness for a scalar conservation law......Page 608
11.5. Problems......Page 613
11.6. References......Page 614
A.I. Notation for matrices......Page 615
A.2. Geometric notation......Page 616
A.3. Notation for functions......Page 617
A.5. Notation for estimates......Page 621
A.6. Some comments about notation......Page 622
B.l. Convex functions......Page 623
B.2. Elementary inequalities......Page 624
C.l. Boundaries......Page 628
C.2. Gauss-Green Theorem......Page 629
C.3. Polar coordinates, coarea formula......Page 630
C.4. Convolution and smoothing......Page 631
C.5. Inverse Function Theorem......Page 634
C.6. Implicit Function Theorem......Page 635
C.7. Uniform convergence......Page 636
D.l. Banach spaces......Page 637
D.2. Hilbert spaces......Page 638
D.3. Bounded linear operators......Page 639
D.4. Weak convergence......Page 641
D.5. Compact operators, Fredholm theory......Page 642
D.6. Symmetric operators......Page 646
E.l. Lebesgue measure......Page 647
E.2. Measurable functions and integration......Page 649
E.4. Differentiation......Page 650
E.5. Banach space-valued functions......Page 651
Bibliography......Page 653
Index......Page 657