Parciális differenciálegyenletek

Előszó......Page 11
I. Fejezetek a klasszikus analízisből......Page 13
Topológia Rn-ben......Page 15
Lebesgue-integrál, Lp terek......Page 19
Paraméteres integrálok......Page 22
Multiindexek......Page 25
A kompakt tartójú sima függvények tere......Page 26
Az egységapproximáció alkalmazása......Page 28
Az egységosztás tétele......Page 34
II. Másodrendűlineárisparciálisdifferenciálegyenletek......Page 37
Motiváció......Page 39
Parciális differenciálegyenlet fogalma......Page 40
Parciális differenciálegyenletek főbb típusai......Page 41
Mellékfeltételek, korrekt kitűzésű feladatok......Page 42
Integrálható egyenletek......Page 44
Közönséges differenciálegyenletre visszavezethető egyenletek......Page 45
Új változók bevezetésével megoldható egyenletek......Page 46
Elsőrendű lineáris egyenletek......Page 48
Feladatok......Page 51
Motiváció......Page 55
A hővezetés matematikai leírása......Page 56
Hővezetés egy dimenzióban......Page 57
Hővezetés két és magasabb dimenzióban......Page 61
Stacionárius hővezetés......Page 64
A hővezetési egyenlet Einstein-féle levezetése......Page 66
Az egydimenziós hullámegyenlet......Page 68
Hullámegyenlet két és magasabb dimenzióban......Page 73
Lineáris egyenletek......Page 75
Nemlineáris egyenletek......Page 77
Egyenletrendszerek......Page 78
Feladatok......Page 79
Az egyenletek osztályozása......Page 83
Az egyenletek kanonikus alakja......Page 86
Feladatok......Page 95
Előkészületek......Page 97
Fizikai háttér......Page 98
Green-formulák......Page 99
Radiális megoldások......Page 102
Alapmegoldás és Newton-potenciál......Page 105
A klasszikus feladatok kitűzése......Page 110
A megoldás egyértelműsége......Page 112
Dirichlet-elv......Page 116
Klasszikus sajátérték-feladatok......Page 119
A klasszikus sajátérték-feladatok kitűzése......Page 120
Sajátértékek, a változók szétválasztásának módszere......Page 122
Fourier-módszer......Page 126
Maximum- és minimumelvek......Page 130
A Dirichlet-feladat megoldásának egyértelműsége......Page 134
Harmonikus függvények további tulajdonságai......Page 135
Green harmadik formulája......Page 139
A Green-függvény értelmezése és tulajdonságai......Page 141
Poisson-formula gömbön......Page 145
További példák Green-függvényekre......Page 151
Feladatok......Page 154
Fizikai motiváció......Page 159
Hasonlósági megoldások......Page 160
Alapmegoldás......Page 163
A klasszikus Cauchy-feladatok kitűzése......Page 165
A homogén egyenlet megoldása......Page 166
Duhamel-elv és az inhomogén egyenlet......Page 170
Egyértelműség......Page 172
Tyihonov példája......Page 176
Vegyes feladatok......Page 178
Maximum- és minimumelvek......Page 179
Egyértelműség......Page 181
Fourier-módszer......Page 185
Feladatok......Page 188
III. Disztribúcióelmélet......Page 189
Motiváció......Page 191
A disztribúció fogalma......Page 194
Példák......Page 197
Algebrai műveletek......Page 200
Disztribúció tartója......Page 201
Disztribúció deriváltja......Page 203
A direkt szorzat definíciója......Page 210
Műveleti tulajdonságok......Page 213
Függvények konvolúciója......Page 215
Disztribúciók konvolúciója: definíció, példák......Page 218
Műveleti tulajdonságok......Page 223
Alapmegoldások......Page 226
Példák alapmegoldásra......Page 227
Feladatok......Page 235
Általánosított Cauchy-feladatok hiperbolikus egyenletekre......Page 241
Az általánosított Cauchy-feladat......Page 242
A klasszikus Cauchy-feladat......Page 246
Feladatok......Page 251
Általánosított Cauchy-feladatok parabolikus egyenletekre......Page 253
Az általánosított Cauchy-feladat......Page 254
A klasszikus Cauchy-feladat......Page 257
Feladatok......Page 260
IV. Szoboljev-terek......Page 261
Szoboljev-terek......Page 263
A H1RN tér......Page 264
A H1Omega terek......Page 268
A H10Omega tér......Page 273
A H2Omega tér......Page 274
A H1Omega' és H(-1)Omega duális terek......Page 276
Feladatok......Page 278
Dirichlet-feladat I......Page 283
Dirichlet-feladat II......Page 285
Neumann-feladat I......Page 287
Neumann-feladat II......Page 288
A Laplace-operátor spektráltétele......Page 290
Feladatok......Page 292
Evolúciós problémák......Page 295
Hővezetési egyenlet......Page 296
Hullámegyenlet......Page 298
Megoldások a 9. fejezet feladataihoz......Page 303
Megoldások a 10. fejezet feladataihoz......Page 328
Megoldások a 11. fejezet feladataihoz......Page 333
Útmutatások a 12. fejezet feladataihoz......Page 336
Útmutatások a 13. fejezet feladataihoz......Page 338
Irodalomjegyzék......Page 341
Tárgymutató......Page 348
Névmutató......Page 0