Parametrized Measures and Variational Principles

همگرایی ضعیف ابزاری اساسی برای تحلیل غیرخطی مدرن است زیرا از همان ویژگی‌های فشردگی برخوردار است که فضاهای ابعادی محدود دارند: اساساً، دنباله‌های محدود مجموعه‌های نسبتا فشرده ضعیفی هستند. با این وجود، همگرایی ضعیف با توجه به توابع و عملیات غیرخطی آنطور که می‌خواهیم رفتار نمی‌کند. این دشواری چیزی است که تجزیه و تحلیل غیرخطی را بسیار سخت‌تر از حد معمول می‌کند. معیارهای پارامتریزه وسیله ای برای درک همگرایی ضعیف و رفتار آن با توجه به توابع غیرخطی است. تحت فرضیه‌های مناسب، راهی برای نمایش محدودیت‌های ضعیف ترکیبات با توابع غیرخطی از طریق انتگرال به دست می‌دهد. این به ویژه در درک پدیده های نوسانی و در پیگیری نحوه تغییر نوسانات هنگام اعمال تابع غیرخطی مفید است. همگرایی ضعیف همچنین نقش اساسی در درمان مدرن حساب تغییرات ایفا می کند، زیرا مرزهای یکنواخت در هنجار برای دنباله ها اجازه می دهد تا دنباله های همگرا ضعیفی داشته باشیم. به منظور دستیابی به وجود حداقل سازها برای یک عملکرد خاص، ابتدا باید خاصیت نیمه پیوستگی ضعیف ضعیف ایجاد شود. این مهم ترین و ظریف ترین مرحله در روش به اصطلاح مستقیم حساب تغییرات است. مقدار نسبتاً زیادی کار اختصاص داده شده است تا مشخص شود تحت چه مفروضاتی می‌توانیم این نیمه پیوستگی پایین‌تر را با توجه به توپولوژی‌های ضعیف برای عملکردهای گوش غیر خطی به شکل انتگرال داشته باشیم. نتیجه همه این کارها این است که نوعی تحدب، که به معنای وسیع‌تر درک می‌شود، معمولاً درگیر است.

Weak convergence is a basic tool of modern nonlinear analysis because it enjoys the same compactness properties that finite dimensional spaces do: basically, bounded sequences are weak relatively compact sets. Nonetheless, weak conver­ gence does not behave as one would desire with respect to nonlinear functionals and operations. This difficulty is what makes nonlinear analysis much harder than would normally be expected. Parametrized measures is a device to under­ stand weak convergence and its behavior with respect to nonlinear functionals. Under suitable hypotheses, it yields a way of representing through integrals weak limits of compositions with nonlinear functions. It is particularly helpful in comprehending oscillatory phenomena and in keeping track of how oscilla­ tions change when a nonlinear functional is applied. Weak convergence also plays a fundamental role in the modern treatment of the calculus of variations, again because uniform bounds in norm for se­ quences allow to have weak convergent subsequences. In order to achieve the existence of minimizers for a particular functional, the property of weak lower semicontinuity should be established first. This is the crucial and most delicate step in the so-called direct method of the calculus of variations. A fairly large amount of work has been devoted to determine under what assumptions we can have this lower semicontinuity with respect to weak topologies for nonlin­ ear functionals in the form of integrals. The conclusion of all this work is that some type of convexity, understood in a broader sense, is usually involved.