Oscillation Theory of Two-Term Differential Equations

نظریه نوسان با کار استورم در سال 1836 متولد شد. این نظریه در پنجاه سال گذشته شکوفا شده است. امروزه این یک رشته کامل و مستقل است که بیشتر به سمت معادلات دیفرانسیل غیرخطی و تابعی می رود. نظریه نوسان در امتداد دو جریان اصلی جریان دارد. هدف اول بررسی خواصی است که در تمام معادلات دیفرانسیل خطی مشترک هستند. دیگری حوزه مورد علاقه خود را به خانواده‌های معینی از معادلات محدود می‌کند و به مطالعه پدیده‌های جزئیات حداکثری می‌پردازد که فقط آن معادلات را مشخص می‌کنند. در میان آنها معادلات مرتبه سوم و چهارم، معادلات خود الحاقی و غیره را می یابیم. کار ما متعلق به نوع دوم است و دو معادله خطی ترممی را در نظر می گیرد که پس از y(n) + p(x)y = O مدل شده اند. به طور کلی LnY را بررسی می کنیم. + p(x)y = 0، که در آن Ln یک عملگر منفصل است و p(x) یک علامت ثابت دارد. این معادلات از ساختار بسیار غنی برخوردارند و تعمیم طبیعی عملگر Sturm-Liouville هستند. نتایج مربوط به چنین معادلاتی در صدها مقاله تحقیقاتی توزیع شده است، بسیاری از آنها بارها و بارها اختراع می شوند و همان پدیده به طور مکرر از دیدگاه های مختلف و تعاریف مختلف نویسندگان مورد بحث قرار می گیرد. هدف ما این است که نظمی را در این انبوه وارد کنیم و آن را به صورت یکپارچه و منسجم تنظیم کنیم. نتایج باز اقتباس شده و در یک رویکرد واحد ارائه شده است. در بسیاری از موارد اثبات های کاملاً جدیدی ارائه می شود و در هیچ موردی اثبات اصلی به صورت کلمه به کلمه کپی نمی شود. بسیاری از نتایج جدید گنجانده شده است.

Oscillation theory was born with Sturm's work in 1836. It has been flourishing for the past fifty years. Nowadays it is a full, self-contained discipline, turning more towards nonlinear and functional differential equations. Oscillation theory flows along two main streams. The first aims to study prop­ erties which are common to all linear differential equations. The other restricts its area of interest to certain families of equations and studies in maximal details phenomena which characterize only those equations. Among them we find third and fourth order equations, self adjoint equations, etc. Our work belongs to the second type and considers two term linear equations modeled after y(n) + p(x)y = O. More generally, we investigate LnY + p(x)y = 0, where Ln is a disconjugate operator and p(x) has a fixed sign. These equations enjoy a very rich structure and are the natural generalization of the Sturm-Liouville operator. Results about such equations are distributed over hundreds of research papers, many of them are reinvented again and again and the same phenomenon is frequently discussed from various points of view and different definitions of the authors. Our aim is to introduce an order into this plenty and arrange it in a unified and self contained way. The results are readapted and presented in a unified approach. In many cases completely new proofs are given and in no case is the original proof copied verbatim. Many new results are included.