Orthogonal Latin Squares Based on Groups

این تک نگاری نمایشی یکپارچه از مربع های لاتین و مجموعه های متعامد مربع های لاتین بر اساس گروه ها را ارائه می دهد. تمرکز آن بر روی ارتومورفیسم ها و نگاشت کامل گروه های محدود است، در حالی که اثبات کامل حدس هال-پیج را نیز ارائه می دهد. استفاده از مربع‌های لاتین در ساخت‌های شبکه‌ها، صفحات آفین، صفحات پرتابی و طرح‌های عرضی نیز انگیزه‌ای برای این تحقیق است.
متن با معرفی مفاهیم اساسی، مانند تست‌هایی برای تعیین اینکه آیا مربع لاتین بر اساس یک گروه است یا نه، و همچنین ارتومورفیسم‌ها و نگاشت کامل آغاز می‌شود. از آنجا، مشکل وجودی را برای نگاشت کامل گروه‌ها توصیف می‌کند، تا برهان حدس هال-پیج ایجاد شود. بخش سوم یک مطالعه جامع از گراف‌های ارتومورفیسم گروه‌ها را ارائه می‌کند، در حالی که قسمت آخر بحثی در مورد صفحات نمایشی دکارتی، ساختارهای ترکیبی مرتبط و فهرستی از مسائل باز ارائه می‌کند.
این کتاب با گسترش تک نگاری نویسنده در سال 1992، نمودارهای ارتومورفیسم گروه ها، یک ابزار مرجع ضروری برای محققان ریاضیات یا دانشجویان فارغ التحصیل است که به مسائل مربع لاتین در ترکیبات می پردازند. ارائه آن مبتنی بر درک پایه ای از نظریه گروه های محدود، نظریه میدان محدود، جبر خطی و نظریه اعداد ابتدایی است - در صورت نیاز، نظریه های پیشرفته تری در متن معرفی شده اند.

This monograph presents a unified exposition of latin squares and mutually orthogonal sets of latin squares based on groups. Its focus is on orthomorphisms and complete mappings of finite groups, while also offering a complete proof of the Hall–Paige conjecture. The use of latin squares in constructions of nets, affine planes, projective planes, and transversal designs also motivates this inquiry.
The text begins by introducing fundamental concepts, like the tests for determining whether a latin square is based on a group, as well as orthomorphisms and complete mappings. From there, it describes the existence problem for complete mappings of groups, building up to the proof of the Hall–Paige conjecture. The third part presents a comprehensive study of orthomorphism graphs of groups, while the last part provides a discussion of Cartesian projective planes, related combinatorial structures, and a list of open problems.
Expanding the author’s 1992 monograph, Orthomorphism Graphs of Groups, this book is an essential reference tool for mathematics researchers or graduate students tackling latin square problems in combinatorics. Its presentation draws on a basic understanding of finite group theory, finite field theory, linear algebra, and elementary number theory—more advanced theories are introduced in the text as needed.