Ordered Groups and Infinite Permutation Groups

آزمودنی‌های گروه‌های مرتب شده و گروه‌های جایگشت نامتناهی مدت‌هاست که از یک رابطه همزیستی لذت می‌برند. اگرچه این دو موضوع از منابع بسیار متفاوتی می آیند، اما به طرق خاصی با هم جمع شده اند و هر یک از دیگری سود قابل توجهی به دست آورده است. تماس شخصی من با این تعامل در سال 1961 آغاز شد. من کار دکترا را بر روی همگرایی دنباله ای در گروه های کاملاً منظم به سرپرستی پل کنراد انجام داده بودم. در این فرآیند، من با توالی های \"شبه همگرا\" در یک گروه مرتب G مواجه شده بودم که مانند دنباله های کوشی هستند، با این تفاوت که تفاوت ها بین ترم های رویکرد شاخص بزرگ نه 0 بلکه یک زیرگروه محدب G از G است. طبیعی است، پس چنین توالی هایی به راحتی به عنوان دنباله های کوشی در گروه مرتب شده GIG توصیف می شوند. اگر G نرمال نباشد، البته GIG ساختار گروهی ندارد، اگرچه هنوز یک مجموعه کاملاً مرتب است. بهترین چیزی که می توان گفت این است که المان های G GIG را با حفظ نظم جابه جا می کنند. در تحقیقات مستقل در آن زمان، هم پی. کنراد و هم پی. کوهن نشان داده بودند که یک گروه اگر و فقط در صورتی که گروه گروهی از فیزم های خودرو از یک مجموعه کاملاً مرتب شده باشد، به یک حق کامل سفارش می دهند. (در یک گروه راست مرتب شده، بر خلاف یک گروه مرتب شده (دو طرفه)، که هر دو ترجمه سمت راست و چپ باید ترتیب را حفظ کنند، ترتیب باید توسط همه ترجمه های راست حفظ شود.

The subjects of ordered groups and of infinite permutation groups have long en­ joyed a symbiotic relationship. Although the two subjects come from very different sources, they have in certain ways come together, and each has derived considerable benefit from the other. My own personal contact with this interaction began in 1961. I had done Ph. D. work on sequence convergence in totally ordered groups under the direction of Paul Conrad. In the process, I had encountered "pseudo-convergent" sequences in an ordered group G, which are like Cauchy sequences, except that the differences be­ tween terms of large index approach not 0 but a convex subgroup G of G. If G is normal, then such sequences are conveniently described as Cauchy sequences in the quotient ordered group GIG. If G is not normal, of course GIG has no group structure, though it is still a totally ordered set. The best that can be said is that the elements of G permute GIG in an order-preserving fashion. In independent investigations around that time, both P. Conrad and P. Cohn had showed that a group admits a total right ordering if and only if the group is a group of automor­ phisms of a totally ordered set. (In a right ordered group, the order is required to be preserved by all right translations, unlike a (two-sided) ordered group, where both right and left translations must preserve the order.