Optimal Control Theory for Infinite Dimensional Systems

سیستم‌های ابعادی نامتناهی می‌توانند برای توصیف بسیاری از پدیده‌ها در دنیای واقعی استفاده شوند. همانطور که شناخته شده است، هدایت گرما، خواص مواد پلاستیکی الاستیک، دینامیک سیالات، فرآیندهای انتشار-واکنش و غیره، همه در این ناحیه قرار دارند. شیئی که ما در حال مطالعه آن هستیم (دما، جابجایی، تمرکز، سرعت و غیره) معمولاً به عنوان حالت نامیده می شود. ما به حالتی علاقه مندیم که حالت معادلات دیفرانسیل مناسبی را برآورده کند که از قوانین فیزیکی خاصی مشتق شده اند، مانند قانون نیوتن، قانون فوریه و غیره. فضایی که حالت در آن وجود دارد، فضای حالت نامیده می شود، و معادله ای که حالت را نشان می دهد. برآورده می شود معادله حالت نامیده می شود. منظور ما از یک سیستم با ابعاد نامتناهی، سیستمی است که فضای حالت متناظر آن بی‌بعد است. به طور خاص، ما علاقه مند به موردی هستیم که معادله حالت یکی از انواع زیر باشد: معادله دیفرانسیل جزئی، معادله دیفرانسیل تابعی، معادله انتگرو-دیفرانسیل، یا معادله تکامل انتزاعی. موردی که در آن معادله حالت یک معادله دیفرانسیل تصادفی است نیز یک مسئله ابعاد نامتناهی است، اما ما در این کتاب به چنین موردی نخواهیم پرداخت.

Infinite dimensional systems can be used to describe many phenomena in the real world. As is well known, heat conduction, properties of elastic­ plastic material, fluid dynamics, diffusion-reaction processes, etc., all lie within this area. The object that we are studying (temperature, displace­ ment, concentration, velocity, etc.) is usually referred to as the state. We are interested in the case where the state satisfies proper differential equa­ tions that are derived from certain physical laws, such as Newton's law, Fourier's law etc. The space in which the state exists is called the state space, and the equation that the state satisfies is called the state equation. By an infinite dimensional system we mean one whose corresponding state space is infinite dimensional. In particular, we are interested in the case where the state equation is one of the following types: partial differential equation, functional differential equation, integro-differential equation, or abstract evolution equation. The case in which the state equation is being a stochastic differential equation is also an infinite dimensional problem, but we will not discuss such a case in this book.