Operator Relations Characterizing Derivatives

این تک نگاری یک دیدگاه عملگر را برای معادلات تابعی در فضاهای تابع کلاسیک تحلیل ایجاد می کند، بنابراین یک خلاء در ادبیات ریاضی پر می کند. ساختارها یا عملیات اصلی در تجزیه و تحلیل اغلب با برخی از ویژگی‌ها، روابط یا معادلات ابتدایی مشخص می‌شوند که آنها را برآورده می‌کنند. نویسندگان نتایج اخیر را در مورد این مسئله ارائه می کنند که تا چه حد مشتق با معادلاتی مانند قانون لایبنیتس یا معادله عملگر قانون زنجیره ای در فضاهای Ck مشخص می شود. با محلی سازی، این معادلات عملگر به معادلات تابعی خاصی تبدیل می شوند که نویسندگان آن را حل می کنند. مشتق دوم، عملگرهای Sturm-Liouville و Laplacian انگیزه مطالعه برخی معادلات عملگر \" مرتبه دوم\" هستند. علاوه بر این، نویسندگان راه‌حل کلی این معادلات عملگر را تحت مفروضات ضعیف عدم انحطاط تعیین می‌کنند. در رویکرد آنها، عملگرها نیازی به خطی بودن ندارند و نویسندگان نیز سعی می کنند از شرایط تداوم اجتناب کنند. قاعده لایب نیتس، قانون زنجیره و الحاقات آن تحت تأثیر آشفتگی ها و تسکین مفروضات در فرم عملگرها پایدار هستند. نتایج یک درک جبری از عملگرهای دیفرانسیل مرتبه اول و دوم به دست می دهد. از آنجایی که نویسندگان انتخاب کرده‌اند که مشتق را با روابط جبری مشخص کنند، ساختار عملگر غنی پشت مفهوم بنیادی مشتق و بستگان آن در تجزیه و تحلیل کشف و کاوش می‌شود.

این کتاب به هیچ چیز خاصی نیاز ندارد. دانش معادلات تابعی تمام نتایج مورد نیاز ارائه شده و اثبات شده است و این کتاب برای مخاطبان ریاضی عمومی خطاب شده است.

This monograph develops an operator viewpoint for functional equations in classical function spaces of analysis, thus filling a void in the mathematical literature. Major constructions or operations in analysis are often characterized by some elementary properties, relations or equations which they satisfy. The authors present recent results on the problem to what extent the derivative is characterized by equations such as the Leibniz rule or the Chain rule operator equation in Ck-spaces. By localization, these operator equations turn into specific functional equations which the authors then solve. The second derivative, Sturm-Liouville operators and the Laplacian motivate the study of certain "second-order" operator equations. Additionally, the authors determine the general solution of these operator equations under weak assumptions of non-degeneration. In their approach, operators are not required to be linear, and the authors also try to avoid continuity conditions. The Leibniz rule, the Chain rule and its extensions turn out to be stable under perturbations and relaxations of assumptions on the form of the operators. The results yield an algebraic understanding of first- and second-order differential operators. Because the authors have chosen to characterize the derivative by algebraic relations, the rich operator-type structure behind the fundamental notion of the derivative and its relatives in analysis is discovered and explored.

The book does not require any specific knowledge of functional equations. All needed results are presented and proven and the book is addressed to a general mathematical audience.