Operator Inequalities of the Jensen, Cebysev and Gruss Type

هدف اصلی این کتابارائه نتایج اخیر در مورد نابرابری‌های نوع جنسن، چبیشف و گروس برای توابع پیوسته عملگرهای خود الحاقی محدود در فضاهای پیچیده هیلبرت است.

در فصل مقدماتی، نویسنده حقایق بنیادی را در مورد عملگرهای خود الحاقی محدود در فضاهای پیچیده هیلبرت به تصویر می‌کشد. نابرابری تعمیم یافته شوارتز برای عملگرهای خود الحاقی مثبت و همچنین برخی از نتایج برای طیف این دسته از عملگرها ارائه شده است. این متن خواننده را با نتایج اساسی برای چند جمله ای ها در یک عملگر خطی، توابع پیوسته عملگرهای خود الحاقی و همچنین توابع مرحله ای عملگرهای خود الحاقی آشنا می کند. تجزیه طیفی برای این دسته از عملگرها که در ادامه کتاب نقش محوری دارند و پیامدهای آن معرفی شده است. در پایان فصل، برخی از نابرابری‌های عملگر کلاسیک نیز ارائه شده‌اند.

نتایج جدید اخیر که با جنبه‌های مختلف نابرابری عملگر معروف جنسن سروکار دارد، در فصل دوم مورد بررسی قرار گرفته‌اند. اینها شامل، اما نه محدود به نسخه عملگر نابرابری دراگومیر-یونسکو، نابرابری‌های نوع اسلاتر برای عملگرها و معکوس‌های آن، نابرابری جنسن برای دو برابر توابع متمایزپذیر که مشتقات دوم آن برخی از شرایط کران بالا و پایین را برآورده می‌کند و نابرابری‌های نوع جنسن برای log- است. توابع محدب نابرابری‌های نوع هرمیت-هادامارد برای توابع محدب و نتایج مربوط به توابع محدب عملگر نیز ارائه شده‌اند.

نابرابری Čebyšev، (Chebyshev) که میانگین انتگرال/گسسته محصول را با حاصلضرب انتگرال مقایسه می‌کند. /وسیله گسسته در ادبیات اختصاص داده شده به نابرابری های ریاضی مشهور است. نابرابری خواهر ناشی از گروس که مرزهای خطا را برای مقدار تفاوت بین میانگین انتگرال محصول و حاصلضرب میانگین انتگرال فراهم می کند نیز از زمانی که در سال 1935 با بیش از 200 مقاله منتشر شده تاکنون کشف شد، توجه زیادی را به خود جلب کرده است. . بخش آخر کتاب به نسخه‌های عملگر این نتایج معروف برای توابع پیوسته عملگرهای خود الحاقی در فضاهای پیچیده هیلبرت اختصاص دارد. موارد خاص مختلف مورد علاقه و نتایج مرتبط نیز ارائه شده است.

این کتاببرای استفاده توسط محققان در زمینه‌های مختلف نظریه عملگر خطی و نابرابری‌های ریاضی، حوزه‌هایی که در دهه گذشته به‌طور تصاعدی رشد کرده‌اند، و همچنین دانشجویان کارشناسی ارشد در نظر گرفته شده است. و دانشمندان از نابرابری ها در حوزه های خاص خود استفاده می کنند.

The main aim of this bookis to present recent results concerning inequalities of the Jensen, Čebyšev and Grüss type for continuous functions of bounded selfadjoint operators on complex Hilbert spaces.

In the introductory chapter, the author portrays fundamental facts concerning bounded selfadjoint operators on complex Hilbert spaces. The generalized Schwarz’s inequality for positive selfadjoint operators as well as some results for the spectrum of this class of operators are presented. This text introduces the reader to the fundamental results for polynomials in a linear operator, continuous functions of selfadjoint operators as well as the step functions of selfadjoint operators. The spectral decomposition for this class of operators, which play a central role in the rest of the book and its consequences are introduced. At the end of the chapter, some classical operator inequalities are presented as well.

Recent new results that deal with different aspects of the famous Jensen operator inequality are explored through the second chapter. These include but are not limited to the operator version of the Dragomir-Ionescu inequality, the Slater type inequalities for operators and its inverses, Jensen’s inequality for twice differentiable functions whose second derivatives satisfy some upper and lower bound conditions and Jensen’s type inequalities for log-convex functions. Hermite-Hadamard’s type inequalities for convex functions and the corresponding results for operator convex functions are also presented.

The Čebyšev, (Chebyshev) inequality that compares the integral/discrete mean of the product with the product of the integral/discrete means is famous in the literature devoted to Mathematical Inequalities. The sister inequality due to Grüss which provides error bounds for the magnitude of the difference between the integral mean of the product and the product of the integral means has also attracted much interest since it has been discovered in 1935 with more than 200 papers published so far. The last part of the book is devoted to the operator versions of these famous results for continuous functions of selfadjoint operators on complex Hilbert spaces. Various particular cases of interest and related results are presented as well.

This bookis intended for use by both researchers in various fields of Linear Operator Theory and Mathematical Inequalities, domains which have grown exponentially in the last decade, as well as by postgraduate students and scientists applying inequalities in their specific areas.