Operator Commutation Relations: Commutation Relations for Operators, Semigroups, and Resolvents with Applications to Mathematical Physics and Representations of Lie Groups

در سخنرانی ریاست جمهوری بازنشسته خود که قبل از نشست سالانه انجمن ریاضی آمریکا در دسامبر 1948 ایراد شد، پروفسور فقید اینار هیل در مورد نتایج اخیر خود در مورد نظریه دروغ نیمه گروه های تبدیل های خطی صحبت کرد. . • \"تاکنون فقط عملگرهای جابجایی در نظر گرفته شده اند و قانون محصول... ساده ترین حالت ممکن است. مورد غیر تعویضی در گذشته در برابر حملات متعدد مقاومت کرده است و همین چند ماه پیش بود که پیشرفتی در این زمینه انجام شد. من خوشحال خواهم شد که نظریه جدید را در اینجا تشریح کنم؛ این نظریه ترکیبی از نظریه کلاسیک گروه های دروغ با نظریه اخیر نیمه گروه های یک پارامتری است. \" فهرست منابع در انتشار بعدی آدرس هیل (بول) Amer. Math • Soc. 56 (1950)) شامل مقالات پیشگام I. E. Segal، I. M. Gelfand و K. Yosida است. در سه دهه بعد، موضوع به شدت رشد کرد و تعدادی از زمینه‌های مختلف تحلیل ریاضی را در خود جای داد. مقالات اولیه V. Bargmann، I. E. Segal، L. G~ding، Harish-Chandra، I. M. Singer، R. Langlands، B. Konstant، و E. Nelson مبنای نظری را برای کارهای بعدی در کاربردهای مختلف ایجاد کردند: ریاضی. فیزیک، نجوم، معادلات دیفرانسیل جزئی، جبر اپراتورها، سیستم های دینامیکی، هندسه، و اخیراً، نظریه فیلتر تصادفی. همانطور که معلوم شد، البته، گروه های دروغ، به جای نیمه گروه ها، کانون توجه را فراهم کردند.

In his Retiring Presidential address, delivered before the Annual Meeting of The American Mathematical Society on December, 1948, the late Professor Einar Hille spoke on his recent results on the Lie theory of semigroups of linear transformations, . . • "So far only commutative operators have been considered and the product law . . . is the simplest possible. The non-commutative case has resisted numerous attacks in the past and it is only a few months ago that any headway was made with this problem. I shall have the pleasure of outlining the new theory here; it is a blend of the classical theory of Lie groups with the recent theory of one-parameter semigroups. " The list of references in the subsequent publication of Hille's address (Bull. Amer. Math •. Soc. 56 (1950)) includes pioneering papers of I. E. Segal, I. M. Gelfand, and K. Yosida. In the following three decades the subject grew tremendously in vitality, incorporating a number of different fields of mathematical analysis. Early papers of V. Bargmann, I. E. Segal, L. G~ding, Harish-Chandra, I. M. Singer, R. Langlands, B. Konstant, and E. Nelson developed the theoretical basis for later work in a variety of different applications: Mathematical physics, astronomy, partial differential equations, operator algebras, dynamical systems, geometry, and, most recently, stochastic filtering theory. As it turned out, of course, the Lie groups, rather than the semigroups, provided the focus of attention.