On the Estimation of Multiple Random Integrals and U-Statistics

این کار با مطالعه آن قضایای حدی در نظریه احتمال که روش‌های کلاسیک برای آنها کار نمی‌کند شروع می‌شود. در بسیاری از موارد نوعی خطی سازی می تواند به حل مشکل کمک کند، زیرا نسخه خطی ساده تر است. اما برای اعمال چنین روشی باید نشان دهیم که خطی سازی باعث خطای ناچیز می شود. برآورد این خطا منجر به مشکلات مهم نوع انحراف بزرگ می شود و موضوع اصلی این کار بررسی آنها می باشد. ما تخمین‌های دقیقی از توزیع دنباله انتگرال‌های چندگانه با توجه به یک معیار تجربی نرمال‌شده و به‌اصطلاح آمارهای U منحط و همچنین برتری طبقات مناسب از این مقادیر ارائه می‌کنیم. اثبات‌ها تعدادی از تکنیک‌های مفید احتمالات مدرن را به کار می‌برند که ما را قادر می‌سازد تا توابع غیرخطی متغیرهای تصادفی مستقل را بررسی کنیم.
این یادداشت سخنرانی بینش‌هایی را در مورد این روش‌ها به دست می‌دهد، و همچنین ممکن است برای کسانی که فقط خواهان روش‌های جدید هستند مفید باشد. ابزارهایی برای کمک به آنها برای اثبات قضایای حد در زمانی که روش‌های استاندارد گزینه مناسبی نیستند.

This work starts with the study of those limit theorems in probability theory for which classical methods do not work. In many cases some form of linearization can help to solve the problem, because the linearized version is simpler. But in order to apply such a method we have to show that the linearization causes a negligible error. The estimation of this error leads to some important large deviation type problems, and the main subject of this work is their investigation. We provide sharp estimates of the tail distribution of multiple integrals with respect to a normalized empirical measure and so-called degenerate U-statistics and also of the supremum of appropriate classes of such quantities. The proofs apply a number of useful techniques of modern probability that enable us to investigate the non-linear functionals of independent random variables.
This lecture note yields insights into these methods, and may also be useful for those who only want some new tools to help them prove limit theorems when standard methods are not a viable option.