Old and New Aspects in Spectral Geometry

مشخص است که به هر منیفولد ریمانی (M، g)، با یا بدون مرز، می توان اشیاء بنیادی خاصی را مرتبط کرد. از جمله آنها می توان به اپراتور لاپلاس-بلترامی و عملگرهای Hodge-de Rham اشاره کرد که طبیعی هستند [یعنی با ایزومتریک های (M,g) جابه جا می شوند]، عملگرهای دیفرانسیل مرتبه دوم بیضوی و خود الحاقی که بر روی فضا عمل می کنند. به ترتیب توابع صاف با ارزش واقعی روی M و فضاهای اشکال دیفرانسیل صاف روی M. اگر M بسته باشد، طیف هر یک از این عملگرها یک دنباله واگرای نامتناهی از اعداد حقیقی است که هر مقدار ویژه با توجه به تعدد متناهی آن تکرار می شود. هندسه طیفی به طیف این عملگرها می پردازد، همچنین این که تا چه حد این طیف ها هندسه (M, g) و توپولوژی M را تعیین می کنند. این مسئله توسط چندین نویسنده (به ویژه M. Kac) ترجمه شده است. به سؤال محاوره ای \"آیا می توان شکل یک منیفولد را شنید؟\" به دلیل تشابه آن با معادله موج. این اصطلاح از نتایج قبلی H. Weyl الهام گرفته شده است. مشخص است که طیف های فوق نمی توانند هندسه (M , g) یا توپولوژی M را به طور کامل تعیین کنند. برای مثال، نمونه هایی از جفت منیفولدهای بسته ریمانی با طیف های مشابه مربوط به عملگرهای لاپلاس-بلترامی وجود دارد، اما که از نظر هندسه تفاوت اساسی دارند و حتی از نظر همتوپی معادل هم نیستند.

It is known that to any Riemannian manifold (M, g ) , with or without boundary, one can associate certain fundamental objects. Among them are the Laplace-Beltrami opera­ tor and the Hodge-de Rham operators, which are natural [that is, they commute with the isometries of (M,g)], elliptic, self-adjoint second order differential operators acting on the space of real valued smooth functions on M and the spaces of smooth differential forms on M, respectively. If M is closed, the spectrum of each such operator is an infinite divergent sequence of real numbers, each eigenvalue being repeated according to its finite multiplicity. Spectral Geometry is concerned with the spectra of these operators, also the extent to which these spectra determine the geometry of (M, g) and the topology of M. This problem has been translated by several authors (most notably M. Kac). into the col­ loquial question "Can one hear the shape of a manifold?" because of its analogy with the wave equation. This terminology was inspired from earlier results of H. Weyl. It is known that the above spectra cannot completely determine either the geometry of (M , g) or the topology of M. For instance, there are examples of pairs of closed Riemannian manifolds with the same spectra corresponding to the Laplace-Beltrami operators, but which differ substantially in their geometry and which are even not homotopically equiva­ lent.