Numerische Mathematik für Anfänger

نسخه خطی زیر حاصل سخنرانی‌هایی در زمینه ریاضیات عددی در دانشگاه هامبورگ است که برای دانشجویان سال اول برگزار می‌شود. برای بیش از ده سال، هامبورگ از مفهوم ارائه ریاضیات عددی به دانشجویان ترم اول ریاضی به موازات تجزیه و تحلیل و جبر خطی حمایت می کند. نکته خاص در مورد ریاضیات عددی این است که شما با مطالعه به تنهایی به اندازه کافی یاد نمی گیرید. علاوه بر درک تئوری، چیزی که ضروری است، محاسبه مستقل مثال‌ها «با دست» (مثلاهای کوچک، معمولاً آموزشی) و با رایانه است. این تنها راه برای درک پدیده های خاص ریاضیات عددی است. تمرکز اصلی همیشه باید روی دو نکته باشد، یعنی اینکه یک الگوریتم چقدر هزینه دارد و چقدر پایدار رفتار می کند. هزینه ها را می توان به طور عینی با تعداد عملیات مورد نیاز تخمین زد. ثبات به معنای عدم حساسیت به داده های کمی مختل شده است، به عنوان مثال. ب به دلیل خطاهای گرد که تقریباً همیشه رخ می دهد اجتناب ناپذیر هستند. مسئله ثبات اغلب فقط در این متن قابل بررسی است.

Das nachfolgende Manuskript ist hervorgegangen aus Vorlesungen über Numerische Mathematik an der Universität Hamburg, die sich an Studi­ enanfänger richtet. In Hamburg vertritt man seit über zehn Jahren das Konzept, Studienanfängern des Studiengangs Mathematik bereits im er­ sten Semester parallel zu Analysis und Linearer Algebra Numerische Ma­ thematik anzubieten. Das Besondere an der Numerischen Mathematik ist, daß man durch Lesen allein nicht genug lernt. Das Wesentliche ist neben dem Nachvollzie­ hen der Theorie das selbständige Durchrechnen von Beispielen und zwar "mit der Hand" (kleine, in der Regel pädagogische Beispiele) und mit einem Computer. Nur so kann man die besonderen Phänomene der Nu­ merischen Mathematik erfassen. Das Hauptaugenmerk sollte man immer auf zwei Punkte richten, näm­ lich was kostet ein Algorithmus und wie stabil verhält er sich. Die Kosten kann man am objektivsten abschätzen durch die Anzahl der benötigten Operationen. Stabilität bedeutet Unempfindlichkeit gegen leicht gestörte Daten, die z. B. durch fast immer auftretende Rundungsfehler unvermeid­ bar sind. Die Frage nach der Stabilität kann im Rahmen dieses Textes häufig nur andeutungsweise behandelt werden.