Numerische Mathematik, 8. Auflage

Cover......Page 1
Numerische
Mathematik
8. Auflage......Page 4
ISBN 9783834815514......Page 5
Aus dem Vorwort zur 5. und 6. Auflage......Page 6
Aus dem Vorwort zur 4. Auflage......Page 7
Inhalt......Page 8
Vom Problem zur Lösung......Page 14
Literaturhinweise......Page 15
1.1 Fehlerarten......Page 16
1.2 Zahldarstellung......Page 17
1.3 Rundungsfehler......Page 19
1.4 Differenzielle Fehleranalyse......Page 22
Rückwärts-Fehleranalyse (backward analysis)......Page 25
Numerische Stabilität......Page 26
1.6 Software......Page 28
1.7 Aufgaben......Page 29
2.1.1 Elimination, Dreieckszerlegung und Determinantenberechnung......Page 31
2.1.2 Pivotstrategien......Page 39
2.1.3 Ergänzungen......Page 44
2.2.1 Normen......Page 48
2.2.2 Fehlerabschätzungen, Kondition......Page 53
2.3.1 Symmetrische, positiv definite Systeme......Page 57
2.3.2 Bandgleichungen......Page 63
2.3.3 Tridiagonale Gleichungssysteme......Page 65
2.4 Verfahren für Vektorrechner und Parallelrechner......Page 68
2.4.1 Voll besetzte Systeme......Page 69
2.4.2 Tridiagonale Gleichungssysteme......Page 74
Schaltkreistheorie......Page 83
Fluss durch ein Rohrnetz mit Pumpe......Page 85
Ebenes Fachwerk......Page 86
2.6 Software......Page 88
2.7 Aufgaben......Page 89
3 Interpolation und Approximation......Page 92
3.1.1 Problemstellung......Page 93
3.1.3 Newton-Interpolation......Page 96
3.1.4 Hermite-Interpolation......Page 99
3.1.5 Inverse Interpolation......Page 101
3.1.6 Anwendung: Numerische Differenziation......Page 102
3.2 Splines......Page 107
3.2.1 Kubische Splines......Page 108
3.2.2 B-Splines 1. Grades......Page 113
3.2.3 Kubische B-Splines......Page 115
3.3 Zweidimensionale Splineverfahren......Page 120
3.3.1 Bilineare Tensorsplines......Page 121
3.3.2 Bikubische Tensorsplines......Page 124
Problemstellung......Page 126
Numerische Lösung mit Splines......Page 127
3.5.1 Bernstein-Polynome......Page 128
3.5.2 Bézier-Darstellung eines Polynoms......Page 130
3.5.3 Der Casteljau-Algorithmus......Page 131
3.5.4 Bézier-Kurven......Page 132
3.5.5 Bézier-Flächen......Page 138
3.6 Gauß-Approximation......Page 141
3.6.1 Diskrete Gauß-Approximation......Page 143
3.6.2 Kontinuierliche Gauß-Approximation......Page 145
3.7.1 Fourier-Reihen......Page 146
3.7.2 Effiziente Berechnung der Fourier-Koeffizienten......Page 155
Die schnelle Fourier-Transformation......Page 156
3.8 Orthogonale Polynome......Page 162
3.8.1 Approximation mit Tschebyscheff-Polynomen......Page 163
3.8.2 Interpolation mit Tschebyscheff-Polynomen......Page 171
3.8.3 Die Legendre-Polynome......Page 175
3.10 Aufgaben......Page 180
4.1.1 Problemstellung......Page 184
4.1.2 Konvergenztheorie und Banachscher Fixpunktsatz......Page 186
4.1.3 Stabilität und Kondition......Page 190
4.2.1 Das Verfahren der Bisektion......Page 191
4.2.2 Das Verfahren von Newton......Page 193
4.2.3 Die Sekantenmethode......Page 196
4.2.4 Brents Black-box-Methode......Page 197
4.3.1 Fixpunktiteration und Konvergenz......Page 200
4.3.2 Das Verfahren von Newton......Page 201
4.4.1 Reelle Nullstellen: Das Verfahren von Newton-Maehly......Page 208
4.4.2 Komplexe Nullstellen: Das Verfahren von Bairstow......Page 212
4.6 Aufgaben......Page 216
5 Eigenwertprobleme......Page 219
5.1.2 Ähnlichkeitstransformationen......Page 220
5.1.4 Elementare Rotationsmatrizen......Page 221
5.2 Das klassische Jacobi-Verfahren......Page 223
5.3.1 Die einfache Vektoriteration nach von Mises......Page 230
5.3.2 Die inverse Vektoriteration......Page 232
5.4 Transformationsmethoden......Page 233
5.4.1 Transformation auf Hessenberg-Form......Page 234
5.4.2 Transformation auf tridiagonale Form......Page 238
5.4.3 Schnelle Givens-Transformation......Page 240
5.5.1 Grundlagen zur QR-Transformation
......Page 244
5.5.2 Praktische Durchführung, reelle Eigenwerte......Page 249
5.5.3 QR-Doppelschritt, komplexe Eigenwerte
......Page 254
5.5.4 QR-Algorithmus für tridiagonale Matrizen......Page 257
5.5.5 Zur Berechnung der Eigenvektoren......Page 261
5.6.1 Der symmetrisch positiv definite Fall......Page 262
5.7 Eigenwertschranken, Kondition, Stabilität......Page 265
5.8 Anwendung: Membranschwingungen......Page 269
5.9 Software......Page 271
5.10 Aufgaben......Page 272
6.1 Lineare Ausgleichsprobleme, Normalgleichungen......Page 275
6.2 Methoden der Orthogonaltransformation......Page 279
6.2.1 Givens-Transformation......Page 280
6.2.2 Spezielle Rechentechniken......Page 285
6.2.3 Householder-Transformation......Page 287
6.3 Singulärwertzerlegung......Page 293
6.4 Nichtlineare Ausgleichsprobleme......Page 297
6.4.1 Gauß-Newton-Methode......Page 298
6.4.2 Minimierungsverfahren......Page 301
6.5 Software......Page 305
6.6 Aufgaben......Page 306
7 Numerische Integration......Page 308
7.1.1 Konstruktion von Newton-Cotes-Formeln......Page 309
7.1.2 Verfeinerung der Trapezregel......Page 311
7.2 Romberg-Integration......Page 314
7.3 Transformationsmethoden......Page 316
7.3.1 Periodische Integranden......Page 317
7.3.2 Integrale über......Page 319
7.3.3 Variablensubstitution......Page 321
7.4 Gauß-Integration......Page 324
7.4.1 Eingebettete Gauß-Regeln......Page 332
7.5 Adaptive Integration......Page 333
7.6.1 Produktintegration......Page 337
7.6.2 Integration über Standardgebiete......Page 338
7.7 Software......Page 339
7.8 Aufgaben......Page 340
8 Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen......Page 343
8.1.1 Problemklasse und theoretische Grundlagen......Page 344
8.1.2 Möglichkeiten numerischer Lösung......Page 346
8.2.1 Konsistenz, Stabilität und Konvergenz......Page 351
8.2.2 Runge-Kutta-Verfahren......Page 354
8.2.3 Explizite Runge-Kutta-Verfahren......Page 355
8.2.4 Halbimplizite Runge-Kutta-Verfahren......Page 359
8.2.5 Eingebettete Verfahren und Schrittweitensteuerung......Page 360
8.3.1 Verfahren vom Adams-Typ......Page 364
8.3.2 Konvergenztheorie und Verfahrenskonstruktion......Page 369
8.4.1 Inhärente Instabilität......Page 377
8.4.2 Absolute Stabilität bei Einschrittverfahren......Page 379
8.4.3 Absolute Stabilität bei Mehrschrittverfahren......Page 381
8.4.4 Steife Differenzialgleichungen......Page 385
8.5 Anwendung: Lotka-Volterras Wettbewerbsmodell......Page 389
8.6 Software......Page 392
8.7 Aufgaben......Page 393
9.1 Problemstellung und Beispiele......Page 396
9.2.1 Allgemeine Lösung......Page 400
9.2.2 Analytische Methoden......Page 402
9.2.3 Analytische Methoden mit Funktionenansätzen......Page 405
9.3.1 Das Einfach-Schießverfahren......Page 409
9.3.2 Das Mehrfach-Schießverfahren......Page 414
9.4.1 Dividierte Differenzen......Page 419
9.4.2 Diskretisierung der Randwertaufgabe......Page 420
9.5 Software......Page 425
9.6 Aufgaben......Page 426
10.1.1 Problemstellung......Page 428
10.1.2 Diskretisierung der Aufgabe......Page 430
10.1.3 Randnahe Gitterpunkte, allgemeine Randbedingungen......Page 435
10.1.4 Diskretisierungsfehler......Page 445
10.1.5 Ergänzungen......Page 447
10.2.1 Eindimensionale Probleme, explizite Methode......Page 449
10.2.2 Eindimensionale Probleme, implizite Methode......Page 455
10.2.3 Diffusionsgleichung mit variablen Koeffizienten......Page 460
10.2.4 Zweidimensionale Probleme......Page 462
10.3.1 Grundlagen......Page 467
10.3.2 Prinzip der Methode der finiten Elemente......Page 470
10.3.3 Elementweise Bearbeitung......Page 472
10.3.5 Beispiele......Page 478
10.4 Software......Page 483
10.5 Aufgaben......Page 484
11.1 Diskretisierung partieller Differenzialgleichungen......Page 488
11.2.1 Konstruktion der Iterationsverfahren......Page 490
11.2.2 Einige Konvergenzsätze......Page 495
11.2.3 Optimaler Relaxationsparameter und Konvergenzgeschwindigkeit......Page 506
11.3.1 Ein eindimensionales Modellproblem......Page 509
11.3.2 Eigenschaften der gedämpften Jacobi-Iteration......Page 510
11.3.3 Ideen für ein Zweigitterverfahren......Page 512
11.3.4 Eine eindimensionale Zweigittermethode......Page 514
11.3.5 Eine erste Mehrgittermethode......Page 518
11.3.6 Die Mehrgitter-Operatoren für das zweidimensionale Modellproblem......Page 521
11.3.7 Vollständige Mehrgitterzyklen......Page 523
11.3.8 Komplexität......Page 524
11.3.9 Ein Hauch Theorie......Page 525
11.4.1 Herleitung des Algorithmus......Page 531
11.4.2 Eigenschaften der Methode der konjugierten Gradienten......Page 535
11.4.3 Konvergenzabschätzung......Page 539
11.4.4 Vorkonditionierung......Page 542
11.5 Methode der verallgemeinerten minimierten Residuen......Page 548
11.5.1 Grundlagen des Verfahrens......Page 549
11.5.2 Algorithmische Beschreibung und Eigenschaften......Page 552
11.6 Speicherung schwach besetzter Matrizen......Page 557
11.8 Aufgaben......Page 560
Literaturverzeichnis......Page 564
Sachverzeichnis......Page 577