Numerik linearer Gleichungssysteme: Eine Einführung in moderne Verfahren, 4. Auflage. Mit MATLAB-Implementierungen von C. Vömel

Cover......Page 1
Numerik linearer\rGleichungssysteme,\r4. Auflage......Page 4
ISBN 9783834815507......Page 5
Vorwort......Page 8
Inhaltsverzeichnis......Page 11
1 Beispiele für das Auftreten linearer Gleichungssysteme......Page 14
2.1 Vektornormen und Skalarprodukt......Page 20
2.2 Lineare Operatoren, Matrizen und Matrixnormen......Page 26
2.3 Konditionszahl und singul¨are Werte......Page 38
2.4 Der Banachsche Fixpunktsatz......Page 42
2.5 Ubungsaufgaben......Page 46
3.1 Gauß-Elimination......Page 49
3.2 Cholesky-Zerlegung......Page 59
3.3.1 Das Gram-Schmidt-Verfahren......Page 62
3.3.2 Die QR-Zerlegung nach Givens......Page 68
3.3.3 Die QR-Zerlegung nach Householder......Page 72
3.4 Ubungsaufgab¨ en......Page 79
4 Iterative Verfahren......Page 82
4.1 Splitting-Methoden......Page 85
4.1.1 Jacobi-Verfahren......Page 89
4.1.2 Gauß-Seidel-Verfahren......Page 94
4.1.3 Relaxationsverfahren......Page 97
4.1.3.1 Jacobi-Relaxationsverfahren......Page 98
4.1.3.2 Gauß-Seidel-Relaxationsverfahren......Page 100
4.1.4 Richardson-Verfahren......Page 109
4.1.5 Symmetrische Splitting-Methoden......Page 112
4.2 Mehrgitterverfahren......Page 117
4.2.1 Zweigitterverfahren......Page 125
4.2.2 Der Mehrgitteralgorithmus......Page 129
4.2.3 Das vollst¨andige Mehrgitterverfahren......Page 131
4.3 Projektionsmethoden und Krylov-Unterraum-Verfahren......Page 132
4.3.1 Verfahren f¨ur symmetrische, positiv definite Matrizen......Page 137
4.3.1.1 Die Methode des steilsten Abstiegs......Page 138
4.3.1.2 Das Verfahren der konjugierten Richtungen......Page 144
4.3.1.3 Das Verfahren der konjugierten Gradienten......Page 146
4.3.2.1 Der Arnoldi-Algorithmus und die FOM......Page 155
4.3.2.2 Der Lanczos-Algorithmus und die D-Lanczos-Methode......Page 160
4.3.2.3 Der Bi-Lanczos-Algorithmus......Page 164
4.3.2.4 Das GMRES-Verfahren......Page 169
4.3.2.5 Das BiCG-Verfahren......Page 184
4.3.2.6 Das CGS-Verfahren......Page 191
4.3.2.7 Das BiCGSTAB-Verfahren......Page 194
4.3.2.8 Das TFQMR-Verfahren......Page 200
4.3.2.9 Das QMRCGSTAB-Verfahren......Page 209
4.3.2.10 Konvergenzanalysen......Page 212
4.4 Ubungsaufgab¨ en......Page 214
5 Präkonditionierer......Page 220
5.1 Skalierungen......Page 221
5.2 Polynomiale Präkonditioner......Page 224
5.3 Splitting-assoziierte Präkonditionierer......Page 227
5.4 Die unvollständige LU-Zerlegung......Page 228
5.5 Die unvollständige Cholesky-Zerlegung......Page 231
5.6 Die unvollständige QR-Zerlegung......Page 232
5.7 Die unvollständige Frobenius-Inverse......Page 234
5.8 Das präkonditionierte CG-Verfahren......Page 236
5.9 Das präkonditionierte BiCGSTAB-Verfahren......Page 239
5.10 Vergleich der Präkonditionierer......Page 241
5.11 Übungsaufgaben......Page 245
A Implementierungen in MATLAB......Page 246
Literaturverzeichnis......Page 259
Index......Page 264