Numerical Toolbox for Verified Computing I: Basic Numerical Problems Theory, Algorithms, and Pascal-XSC Programs

همانطور که عنوان این کتاب جعبه ابزار عددی برای محاسبات تایید شده پیشنهاد می‌شود، مجموعه گسترده‌ای از ابزارهای پیچیده را برای حل مسائل عددی اساسی با تأیید نتایج ارائه می‌کنیم. ما از ویژگی‌های زبان کامپیوتر علمی PASCAL-XSC برای ارائه ماژول‌هایی استفاده می‌کنیم که می‌توانند توسط خواننده با نیازهای فردی او ترکیب شوند. نگرانی اصلی ما قابلیت اطمینان است - تأیید خودکار نتیجه ای که رایانه برای یک مشکل معین برمی گرداند. همه الگوریتم‌هایی که ارائه می‌کنیم تحت تأثیر این نگرانی مرکزی هستند. ما باید به این نکته اشاره کنیم که هیچ رابطه ای بین روش های تأیید نتایج عددی ما و روش های تأیید برنامه برای اثبات درستی یک پیاده سازی برای یک الگوریتم معین وجود ندارد. این کتاب اولین کتابی است که یک بحث کلی در مورد • قابلیت اطمینان حسابی و محاسباتی، • ریاضیات تحلیلی و تکنیک های تایید، • الگوریتم ها، و • (مهمتر از همه) پیاده سازی های واقعی در قالب روال های کامپیوتری کار ارائه می دهد. وظیفه ما یافتن تعادل مناسب بین این مواد برای هر موضوع بوده است. برای برخی از موضوعات، ما کمی بیشتر بر روی الگوریتم ها تاکید کرده ایم. برای موضوعات دیگر، جایی که پیش نیازهای ریاضی به طور جهانی برگزار می شود، ما به سمت بحث عمیق تر در مورد ماهیت الگوریتم های محاسباتی یا به سمت سؤالات عملی پیاده سازی گرایش داشته ایم. برای همه موضوعات، مثال‌ها، تمرین‌ها و نتایج عددی را ارائه می‌کنیم که کاربرد روال‌های ارائه‌شده را نشان می‌دهد.

As suggested by the title of this book Numerical Toolbox for Verified Computing, we present an extensive set of sophisticated tools to solve basic numerical problems with a verification of the results. We use the features of the scientific computer language PASCAL-XSC to offer modules that can be combined by the reader to his/her individual needs. Our overriding concern is reliability - the automatic verification of the result a computer returns for a given problem. All algorithms we present are influenced by this central concern. We must point out that there is no relationship between our methods of numerical result verification and the methods of program verification to prove the correctness of an imple~entation for a given algorithm. This book is the first to offer a general discussion on • arithmetic and computational reliability, • analytical mathematics and verification techniques, • algorithms, and • (most importantly) actual implementations in the form of working computer routines. Our task has been to find the right balance among these ingredients for each topic. For some topics, we have placed a little more emphasis on the algorithms. For other topics, where the mathematical prerequisites are universally held, we have tended towards more in-depth discussion of the nature of the computational algorithms, or towards practical questions of implementation. For all topics, we present exam­ ples, exercises, and numerical results demonstrating the application of the routines presented.