Numerical methods for stochastic partial differential equations with white noise

این کتاب روش‌های عددی برای معادلات دیفرانسیل جزئی تصادفی با نویز سفید را با استفاده از چارچوب تقریب Wong-Zakai پوشش می‌دهد. این کتاب با برخی مطالب انگیزشی و زمینه ای در فصل های مقدماتی آغاز می شود و در سه بخش تقسیم می شود. بخش اول معادلات دیفرانسیل معمولی تصادفی عددی را پوشش می دهد. در اینجا نویسندگان با روش های عددی برای SDE ها با تاخیر با استفاده از تقریب Wong-Zakai و تفاوت محدود در زمان شروع می کنند. بخش دوم نویز سفید موقت را پوشش می دهد. در اینجا نویسندگان SPDE ها را به عنوان PDE هایی که توسط نویز سفید هدایت می شوند، در نظر می گیرند، جایی که گسسته سازی نویز سفید (حرکت براونی) منجر به PDE هایی با نویز صاف می شود، که سپس می توان با روش های عددی برای PDE ها درمان کرد. در این بخش، الگوریتم‌های بازگشتی مبتنی بر روش‌های بسط آشوب وینر و هم‌آهنگی تصادفی برای معادلات فرارفت- انتشار- واکنش تصادفی خطی ارائه شده است. علاوه بر این، معادلات اویلر تصادفی به عنوان کاربرد روش‌های هم‌سازی تصادفی مورد استفاده قرار می‌گیرند، که در آن مقایسه عددی با سایر روش‌های ادغام در فضای تصادفی انجام می‌شود. بخش سوم نویز سفید فضایی را پوشش می دهد. در اینجا نویسندگان روش‌های عددی برای معادلات بیضوی غیرخطی و همچنین سایر معادلات با نویز افزایشی را مورد بحث قرار می‌دهند. روش‌های عددی برای SPDE با نویز ضربی نیز با استفاده از روش گسترش آشوب وینر مورد بحث قرار گرفته‌اند. علاوه بر این، برخی از SPDE های هدایت شده توسط نویز سفید غیر گاوسی مورد بحث قرار گرفته و برخی از روش های کاهش مدل (بر اساس حساب Wick-Malliavin) برای روش های گسترش آشوب چند جمله ای تعمیم یافته ارائه شده اند. تکنیک های قدرتمندی برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی تصادفی ارائه شده است.

این کتاب را می توان خودکفا دانست. دانش پیشینه لازم در پیوست ها ارائه شده است. دانش پایه از نظریه احتمال و حساب تصادفی در پیوست A ارائه شده است. در پیوست B برخی از روش های نیمه تحلیلی برای SPDE ارائه شده است. در پیوست C مقدمه ای بر ربع گاوس ارائه شده است. در ضمیمه D، تمام نتایج مورد نیاز برای اثبات ارائه شده است، و در پیوست E روشی برای محاسبه نرخ همگرایی به صورت تجربی گنجانده شده است.

علاوه بر این، نویسندگان ارائه می‌دهند. بررسی کامل مباحث، اعم از تمرین های نظری و محاسباتی در کتاب با بحث عملی در مورد اثربخشی روش ها. فایل های پشتیبانی کننده Matlab برای کمک به توضیح بیشتر برخی از مفاهیم در دسترس هستند. یادداشت های کتابشناختی در پایان هر فصل گنجانده شده است. این کتاب به عنوان مرجعی برای دانشجویان فارغ التحصیل و محققان علوم ریاضی است که مایلند روش های عددی پیشرفته را برای معادلات دیفرانسیل جزئی تصادفی با نویز سفید درک کنند.

This book covers numerical methods for stochastic partial differential equations with white noise using the framework of Wong-Zakai approximation. The book begins with some motivational and background material in the introductory chapters and is divided into three parts. Part I covers numerical stochastic ordinary differential equations. Here the authors start with numerical methods for SDEs with delay using the Wong-Zakai approximation and finite difference in time. Part II covers temporal white noise. Here the authors consider SPDEs as PDEs driven by white noise, where discretization of white noise (Brownian motion) leads to PDEs with smooth noise, which can then be treated by numerical methods for PDEs. In this part, recursive algorithms based on Wiener chaos expansion and stochastic collocation methods are presented for linear stochastic advection-diffusion-reaction equations. In addition, stochastic Euler equations are exploited as an application of stochastic collocation methods, where a numerical comparison with other integration methods in random space is made. Part III covers spatial white noise. Here the authors discuss numerical methods for nonlinear elliptic equations as well as other equations with additive noise. Numerical methods for SPDEs with multiplicative noise are also discussed using the Wiener chaos expansion method. In addition, some SPDEs driven by non-Gaussian white noise are discussed and some model reduction methods (based on Wick-Malliavin calculus) are presented for generalized polynomial chaos expansion methods. Powerful techniques are provided for solving stochastic partial differential equations.

This book can be considered as self-contained. Necessary background knowledge is presented in the appendices. Basic knowledge of probability theory and stochastic calculus is presented in Appendix A. In Appendix B some semi-analytical methods for SPDEs are presented. In Appendix C an introduction to Gauss quadrature is provided. In Appendix D, all the conclusions which are needed for proofs are presented, and in Appendix E a method to compute the convergence rate empirically is included.

In addition, the authors provide a thorough review of the topics, both theoretical and computational exercises in the book with practical discussion of the effectiveness of the methods. Supporting Matlab files are made available to help illustrate some of the concepts further. Bibliographic notes are included at the end of each chapter. This book serves as a reference for graduate students and researchers in the mathematical sciences who would like to understand state-of-the-art numerical methods for stochastic partial differential equations with white noise.