Numerical Methods for Grid Equations: Volume I Direct Methods

حل تفاضل محدود معادلات دیفرانسیل ریاضی-فیزیک در دو مرحله انجام می شود: 1) نوشتن طرح تفاضل (تقریبی تفاوت به معادله دیفرانسیل در یک شبکه)، 2) حل رایانه ای معادلات تفاضلی که در قالب یک سیستم مرتبه بالا از معادلات جبری خطی با فرم خاص (بد شرط، با ساختار نواری) نوشته شده است. استفاده از روش های جبر خطی عمومی به دلیل نیاز به ذخیره حجم زیادی از اطلاعات و همچنین به دلیل حجم زیاد کار مورد نیاز این روش ها، همیشه برای چنین سیستم هایی مناسب نیست. برای حل معادلات تفاضل، روش‌های خاصی ابداع شده‌اند که به هر نحوی، ویژگی‌های خاص مسئله را در نظر می‌گیرند و اجازه می‌دهند با استفاده از روش‌های کلی، راه‌حل با کار کمتری پیدا شود. این کار بسط کتاب تفاوت M ethod3 برای حل معادله بیضوی3 توسط A. A. Samarskii و V. B. Andreev است که مجموعه کاملی از سوالات مرتبط با تقریب های تفاوت، ساخت عملگرهای تفاوت و تخمین نرخ همگرایی را در نظر گرفته است. طرح‌های تفاوت برای مسائل مرزی-مقدار معمولی بیضوی در اینجا ما فقط روش های حل معادلات تفاضل را در نظر می گیریم. این کتاب در واقع از دو جلد تشکیل شده است.

The finite-difference solution of mathematical-physics differential equations is carried out in two stages: 1) the writing of the difference scheme (a differ­ ence approximation to the differential equation on a grid), 2) the computer solution of the difference equations, which are written in the form of a high­ order system of linear algebraic equations of special form (ill-conditioned, band-structured). Application of general linear algebra methods is not always appropriate for such systems because of the need to store a large volume of information, as well as because of the large amount of work required by these methods. For the solution of difference equations, special methods have been developed which, in one way or another, take into account special features of the problem, and which allow the solution to be found using less work than via the general methods. This work is an extension of the book Difference M ethod3 for the Solution of Elliptic Equation3 by A. A. Samarskii and V. B. Andreev which considered a whole set of questions connected with difference approximations, the con­ struction of difference operators, and estimation of the ~onvergence rate of difference schemes for typical elliptic boundary-value problems. Here we consider only solution methods for difference equations. The book in fact consists of two volumes.