Numerical Derivatives and Nonlinear Analysis

سال‌های زیادی است که بر اساس اعتقاد تحلیلگران عددی از ارزیابی مشتقات توابع پیچیده اجتناب شود. مشتقات با استفاده از تفاوت های محدود یا اخیراً با استفاده از بسته های دستکاری نمادین ارزیابی شدند. اولین نقطه ضعف دقت محدود را دارد. دومی دارای معایب گران بودن و نیاز به حافظه قابل توجه کامپیوتر است. پیشرفت‌های اخیر شرح‌داده‌شده در این متن امکان ارزیابی مشتقات را با استفاده از زیرروال‌های ارزیابی خودکار مشتق ساده که در FORTRAN یا BASIC برنامه‌ریزی شده‌اند، می‌دهد. این زیربرنامه ها حتی می توانند بر روی یک کامپیوتر شخصی نیز برنامه ریزی شوند. مفهوم ارزیابی مشتقات در ابتدا توسط Wengert بیش از 20 سال پیش توسعه یافت. پیشرفت های قابل توجهی در روش ونگرت انجام شده است و در این متن از آنها استفاده شده است. هدف این متن آشنایی کاربران کامپیوتر با روشی ساده و کاربردی برای به دست آوردن مشتقات جزئی عبارات پیچیده ریاضی است. این متن استفاده از زیرروال‌های ارزیابی مشتق خودکار را برای حل طیف وسیعی از حداقل مربعات غیرخطی، کنترل بهینه، شناسایی سیستم، مسائل ارزش مرزی دو نقطه‌ای و معادلات انتگرال نشان می‌دهد. مقادير عددي مشتقات دقيقاً ارزيابي مي‌شوند، به جز براي دور، با استفاده از روال‌هاي فرعي ساده FORTRAN يا BASIC. این مشتقات به طور خودکار در پشت صحنه، از معادل عبارات تحلیلی، بدون هیچ تلاشی از سوی کاربر، استخراج می شوند. استفاده از بسته های نرم افزاری پرهزینه لازم نیست.

For many years it has been an article of faith of numerical analysts that the evaluation of derivatives of complicated functions should be avoided. Derivatives were evaluated using finite differences or, more recently, using symbolic manipulation packages. The first has the disadvantage of limited accuracy. The second has disadvantages of being expensive and requiring considerable computer memory. The recent developments described in this text allow the evaluation of derivatives using simple automatic derivative evaluation subroutines pro­ grammed in FORTRAN or BASIC. These subroutines can even be programmed on a personal computer. The concept for the evaluation of the derivatives was originally developed by Wengert over 20 years ago. Significant im­ provements have been made in Wengert's method and are utilized in this text. The purpose of this text is to familiarize computer users with a simple and practical method for obtaining the partial derivatives of complicated mathematical expressions. The text illustrates the use of automatic deriva­ tive evaluation subroutines to solve a wide range of nonlinear least-squares, optimal control, system identification, two-point boundary value problems, and integral equations. The numerical values of the derivatives are evalu~ ated exactly, except for roundoff, using simple FORTRAN or BASIC sub­ routines. These derivatives are derived automatically behind the scenes, from the equivalent of analytical expressions, without any effort from the user. The use of costly software packages is not required.