Numerical Bifurcation Analysis for Reaction-Diffusion Equations

معادلات انتشار-واکنش مدل‌های ریاضی معمولی در زیست‌شناسی، شیمی و فیزیک هستند. این معادلات اغلب به پارامترهای مختلف بستگی دارند، مانند. g. دما، کاتالیزور و سرعت انتشار، و غیره. علاوه بر این، آنها معمولاً یک سیستم اتلاف غیر خطی را تشکیل می دهند که با واکنش بین مواد مختلف همراه می شود. تعداد و پایداری محلول‌های یک سیستم واکنش انتشار ممکن است به طور ناگهانی با تغییر پارامترهای کنترل تغییر کند. در پاسخ، شاهد تشکیل الگوهایی در سیستم هستیم، برای مثال، شروع همرفت و امواج در واکنش‌های شیمیایی. به این نوع نومنا انشعاب می گویند. غیرخطی بودن در سیستم باعث می‌شود که انشعاب دائماً در فرآیندهای واکنش - انتشار انجام شود. انشعاب به نوبه خود باعث عدم قطعیت در نتیجه واکنش ها می شود. بنابراین تجزیه و تحلیل انشعاب ها برای درک مکانیسم تشکیل الگو و دینامیک غیرخطی یک فرآیند واکنش- انتشار ضروری است. با این حال، تجزیه و تحلیل انشعاب تحلیلی تنها برای موارد استثنایی امکان پذیر است. این کتاب به تجزیه و تحلیل عددی مسائل انشعاب در معادلات واکنش - انتشار اختصاص یافته است. هدف این است که یک بررسی سیستماتیک از دوشاخه‌های عمومی و برهمکنش‌های حالت مجموعه‌ای از معادلات واکنش - انتشار را دنبال کنیم. این با ترکیبی از سه رویکرد ریاضی تحقق می‌یابد: روش‌های عددی برای ادامه منحنی‌های حل و برای تشخیص و محاسبه نقاط انشعاب. مدل‌سازی با ابعاد کم اثربخش سناریوی دوشاخه و دینامیک طولانی مدت معادلات واکنش - انتشار. تجزیه و تحلیل سناریوی دوشاخه، تعاملات حالت و تأثیر شرایط مرزی.

Reaction-diffusion equations are typical mathematical models in biology, chemistry and physics. These equations often depend on various parame­ ters, e. g. temperature, catalyst and diffusion rate, etc. Moreover, they form normally a nonlinear dissipative system, coupled by reaction among differ­ ent substances. The number and stability of solutions of a reaction-diffusion system may change abruptly with variation of the control parameters. Cor­ respondingly we see formation of patterns in the system, for example, an onset of convection and waves in the chemical reactions. This kind of phe­ nomena is called bifurcation. Nonlinearity in the system makes bifurcation take place constantly in reaction-diffusion processes. Bifurcation in turn in­ duces uncertainty in outcome of reactions. Thus analyzing bifurcations is essential for understanding mechanism of pattern formation and nonlinear dynamics of a reaction-diffusion process. However, an analytical bifurcation analysis is possible only for exceptional cases. This book is devoted to nu­ merical analysis of bifurcation problems in reaction-diffusion equations. The aim is to pursue a systematic investigation of generic bifurcations and mode interactions of a dass of reaction-diffusion equations. This is realized with a combination of three mathematical approaches: numerical methods for con­ tinuation of solution curves and for detection and computation of bifurcation points; effective low dimensional modeling of bifurcation scenario and long time dynamics of reaction-diffusion equations; analysis of bifurcation sce­ nario, mode-interactions and impact of boundary conditions.