Number Theory IV: Transcendental Numbers

این کتاب بررسی مهم‌ترین جهت‌های تحقیق در نظریه اعداد متعالی است. موضوعات محوری در این نظریه شامل اثبات غیرمنطقی بودن و ماورایی اعداد مختلف، به ویژه آنهایی است که به عنوان مقادیر توابع خاص به وجود می آیند. سوالاتی از این دست به دوران باستان باز می گردد. یک مثال مشکل قدیمی مربع کردن دایره است که لیندمان در سال 1882 نشان داد که غیرممکن است، زمانی که ثابت کرد $Öpi$ یک عدد ماورایی است. حدس اویلر مبنی بر اینکه لگاریتم یک عدد جبری به یک پایه جبری ماورایی است در فهرست معروف مسائل باز هیلبرت گنجانده شد. این حدس توسط Gel'fond و Schneider در سال 1934 اثبات شد. یک نتیجه جدیدتر، اثبات غافلگیرکننده ApÖ'ery مبنی بر غیرمنطقی بودن $Özeta(3)$ در سال 1979 بود. جنبه های کمی این نظریه کاربردهای مهمی در مطالعه دیوفانتین دارد. معادلات و سایر حوزه های نظریه اعداد. برای خواننده‌ای که به شاخه‌های مختلف نظریه اعداد علاقه‌مند است، این مونوگراف هم مروری بر ایده‌ها و تکنیک‌های اصلی نظریه اعداد متعالی دارد و هم راهنمایی برای مهم‌ترین نتایج.

This book is a survey of the most important directions of research in transcendental number theory. The central topics in this theory include proofs of irrationality and transcendence of various numbers, especially those that arise as the values of special functions. Questions of this sort go back to ancient times. An example is the old problem of squaring the circle, which Lindemann showed to be impossible in 1882, when he proved that $Öpi$ is a transcendental number. Euler's conjecture that the logarithm of an algebraic number to an algebraic base is transcendental was included in Hilbert's famous list of open problems; this conjecture was proved by Gel'fond and Schneider in 1934. A more recent result was ApÖ'ery's surprising proof of the irrationality of $Özeta(3)$ in 1979. The quantitative aspects of the theory have important applications to the study of Diophantine equations and other areas of number theory. For a reader interested in different branches of number theory, this monograph provides both an overview of the central ideas and techniques of transcendental number theory, and also a guide to the most important results.