Number Theoretic Methods in Cryptography: Complexity lower bounds

این کتاب تکنیک‌های جدیدی را معرفی می‌کند که حاکی از محدودیت‌های پایینی دقیق در مورد پیچیدگی برخی از مسائل تئوری اعداد و رمزنگاری است. این روش‌ها و تکنیک‌ها بر اساس کران‌های مجموع کاراکترها و تعداد راه‌حل‌های برخی معادلات چند جمله‌ای بر روی میدان‌های محدود و حلقه‌های باقی مانده است. همچنین شامل تعدادی از مشکلات باز و پیشنهادات برای تحقیقات بیشتر است. ما چندین کران پایین را به‌دست می‌آوریم که بر حسب logp به صورت نمایی در درجه‌ها و مرتبه‌های چندجمله‌ای • هستند. • توابع جبری. • توابع بولی. • توالی های تکرار شونده خطی. همزمان با مقادیر مدول لگاریتم گسسته a p اول در نقاط به اندازه کافی (تعداد نقاط می تواند به کوچکی pI/He باشد). این توابع بر روی مدول حلقه باقیمانده p و بر روی مدول حلقه باقیمانده یک مقسوم‌کننده دلخواه d از p - 1 در نظر گرفته می‌شوند. و مشخص می کند که آیا آرگومان یک باقیمانده درجه دوم است یا خیر. ما همچنین کران های بالایی غیر پیش پاافتاده را در درجه درجه، حساسیت و ضرایب فوریه توابع بولی در بیت های x به دست می آوریم که تصمیم می گیریم آیا x یک باقیمانده درجه دوم است یا خیر. این نتایج برای به دست آوردن کران های پایین تر در محاسبات موازی و پیچیدگی بولی محاسبه لگاریتم گسسته استفاده می شود. به عنوان مثال، ما ثابت می کنیم که هر مدار بولین فن نامحدود. برای محاسبه عمق زیر لگاریتمی، مدول لگاریتم گسسته p باید اندازه ابرچند جمله ای باشد.

The book introduces new techniques which imply rigorous lower bounds on the complexity of some number theoretic and cryptographic problems. These methods and techniques are based on bounds of character sums and numbers of solutions of some polynomial equations over finite fields and residue rings. It also contains a number of open problems and proposals for further research. We obtain several lower bounds, exponential in terms of logp, on the de­ grees and orders of • polynomials; • algebraic functions; • Boolean functions; • linear recurring sequences; coinciding with values of the discrete logarithm modulo a prime p at suf­ ficiently many points (the number of points can be as small as pI/He). These functions are considered over the residue ring modulo p and over the residue ring modulo an arbitrary divisor d of p - 1. The case of d = 2 is of special interest since it corresponds to the representation of the right­ most bit of the discrete logarithm and defines whether the argument is a quadratic residue. We also obtain non-trivial upper bounds on the de­ gree, sensitivity and Fourier coefficients of Boolean functions on bits of x deciding whether x is a quadratic residue. These results are used to obtain lower bounds on the parallel arithmetic and Boolean complexity of computing the discrete logarithm. For example, we prove that any unbounded fan-in Boolean circuit. of sublogarithmic depth computing the discrete logarithm modulo p must be of superpolynomial size.