Normally Hyperbolic Invariant Manifolds: The Noncompact Case

این مونوگراف، منیفولدهای متغیر معمولی هذلولی را با تمرکز بر عدم فشردگی بررسی می کند. این اشیاء نقاط ثابت هذلولی را تعمیم می دهند و در سیستم های دینامیکی در همه جا حاضر هستند.
ابتدا، منیفولدهای ثابت هیپربولیک و ارتباط آنها با نقاط ثابت هذلولی و منیفولدهای مرکزی، و همچنین مروری بر تاریخچه و روش های اثبات ارائه شده است. علاوه بر این، مسائلی (مانند یکنواختی و هندسه مرزی) که به دلیل عدم فشردگی به وجود می‌آیند، با مثال‌هایی با جزئیات بسیار مورد بحث قرار می‌گیرند.
نتیجه جدید اصلی نشان‌داده شده، اثبات پایداری منیفولدهای غیرمتغیر معمولی هیپربولیک غیر فشرده در منیفولدهای ریمانی هندسه محدود است. این نتایج به خوبی شناخته شده توسط Fenichel و Hirsch، Pugh و Shub را گسترش می‌دهد و مکمل نتایج عدم فشردگی در فضاهای Banach توسط Bates، Lu و Zeng است. در طول مسیر، برخی نتایج جدید در هندسه مرزی به دست می‌آیند و چارچوبی برای تجزیه و تحلیل ODEها در زمینه هندسی دیفرانسیل ایجاد می‌شود.
در نهایت، نتیجه اصلی به سیستم‌های وابسته به زمان و پارامتر و منیفولدهای ثابت سرریز شده گسترش می‌یابد.

This monograph treats normally hyperbolic invariant manifolds, with a focus on noncompactness. These objects generalize hyperbolic fixed points and are ubiquitous in dynamical systems.
First, normally hyperbolic invariant manifolds and their relation to hyperbolic fixed points and center manifolds, as well as, overviews of history and methods of proofs are presented. Furthermore, issues (such as uniformity and bounded geometry) arising due to noncompactness are discussed in great detail with examples.
The main new result shown is a proof of persistence for noncompact normally hyperbolic invariant manifolds in Riemannian manifolds of bounded geometry. This extends well-known results by Fenichel and Hirsch, Pugh and Shub, and is complementary to noncompactness results in Banach spaces by Bates, Lu and Zeng. Along the way, some new results in bounded geometry are obtained and a framework is developed to analyze ODEs in a differential geometric context.
Finally, the main result is extended to time and parameter dependent systems and overflowing invariant manifolds.