Normally Hyperbolic Invariant Manifolds in Dynamical Systems

در ده سال گذشته، پیشرفت‌های زیادی در درک پویایی جهانی سیستم‌هایی با درجات مختلف آزادی صورت گرفته است. یک ابزار مهم در این مطالعات تئوری منیفولدهای ثابت هیپربولیک معمولی و شاخ و برگ منیفولدهای ثابت هیپربولیک معمولی بوده است. در سال‌های اخیر این تکنیک‌ها برای توسعه روش‌های اغتشاش سراسری، مطالعه پدیده‌های تشدید در نوسانگرهای جفت‌شده، تئوری اغتشاش هندسی منفرد، و مطالعه پدیده‌های ترکیدن در نوسان‌گرهای بیولوژیکی مورد استفاده قرار گرفته‌اند. \"قضیه های چندگانه ثابت\" به ابزارهای استاندارد برای ریاضیدانان کاربردی، فیزیکدانان، مهندسان و تقریباً هر کسی که روی مسائل غیرخطی از دیدگاه هندسی کار می کند تبدیل شده است. در این کتاب، نویسنده توسعه مستقلی از این ایده ها و همچنین اثبات قضایای اصلی را در امتداد کارهای اساسی Fenichel ارائه می دهد. به طور کلی، نظریه Fenichel برای بسیاری از کاربردها بسیار ارزشمند است، اما برای مردم آسان نیست که از ادبیات موجود وارد شوند. این کتاب یک راه عالی برای آن فراهم می کند. Wiggins همچنین تنظیمات مختلفی را توصیف می کند که در آنها می توان از این تکنیک ها در برنامه ها استفاده کرد.

In the past ten years, there has been much progress in understanding the global dynamics of systems with several degrees-of-freedom. An important tool in these studies has been the theory of normally hyperbolic invariant manifolds and foliations of normally hyperbolic invariant manifolds. In recent years these techniques have been used for the development of global perturbation methods, the study of resonance phenomena in coupled oscillators, geometric singular perturbation theory, and the study of bursting phenomena in biological oscillators. "Invariant manifold theorems" have become standard tools for applied mathematicians, physicists, engineers, and virtually anyone working on nonlinear problems from a geometric viewpoint. In this book, the author gives a self-contained development of these ideas as well as proofs of the main theorems along the lines of the seminal works of Fenichel. In general, the Fenichel theory is very valuable for many applications, but it is not easy for people to get into from existing literature. This book provides an excellent avenue to that. Wiggins also describes a variety of settings where these techniques can be used in applications.