Normal Modes and Localization in Nonlinear Systems

حالت‌های عادی غیرخطی یک تیر کنسول برانگیخته پارامتریک با استفاده مستقیم از روش مقیاس‌های چندگانه برای معادله دیفرانسیل انتگرال-جزئی حاکم و شرایط مرزی مرتبط ساخته می‌شوند. اثر اینرسی و انحنای گوش‌های غیر خطی و تحریک پارامتریک بر توزیع فضایی انحراف مورد بررسی قرار می‌گیرد. نتایج با نتایج به دست آمده با استفاده از گسسته سازی تک حالته مقایسه می شوند. در غیاب میرایی ویسکوز خطی و درجه دوم، نشان داده شده است که حالت های عادی غیرخطی، همانطور که توسط روزنبرگ تعریف شده است، حتی در حضور یک تحریک پارامتری اصلی وجود دارد. علاوه بر این، شکل حالت غیرخطی به‌دست‌آمده با رویکرد مستقیم با شکل به‌دست‌آمده با رویکرد گسسته‌سازی برای برخی مقادیر فرکانس تحریک مقایسه می‌شود. در گسسته سازی تک حالته، توزیع فضایی انحراف به طور پیشینی با شکل حالت خطی ¢n فرض می شود که به صورت پارامتریک برانگیخته شده است، به عنوان معادله (41). بنابراین، شکل مد تحت تأثیر انحنای غیر خطی و میرایی غیرخطی قرار نمی گیرد. از سوی دیگر، در رویکرد مستقیم، شکل حالت پیشینی فرض نمی شود. جلوه های غیر خطی شکل حالت خطی ¢n را تغییر می دهند. بنابراین، در مورد نوسانات با دامنه بزرگ، گسسته سازی تک حالته ممکن است اشکال حالت نادرست ایجاد کند. منابع 1. Vakakis, A. F., Manevitch, L. I., Mikhlin, Y. v., Pilipchuk, V. N., and Zevin A. A., Nonnal Modes and Localization in Nonlinear Systems, Wiley, New York, 1996.

The nonlinear normal modes of a parametrically excited cantilever beam are constructed by directly applying the method of multiple scales to the governing integral-partial differential equation and associated boundary conditions. The effect of the inertia and curvature nonlin­ earities and the parametric excitation on the spatial distribution of the deflection is examined. The results are compared with those obtained by using a single-mode discretization. In the absence of linear viscous and quadratic damping, it is shown that there are nonlinear normal modes, as defined by Rosenberg, even in the presence of a principal parametric excitation. Furthermore, the nonlinear mode shape obtained with the direct approach is compared with that obtained with the discretization approach for some values of the excitation frequency. In the single-mode discretization, the spatial distribution of the deflection is assumed a priori to be given by the linear mode shape ¢n, which is parametrically excited, as Equation (41). Thus, the mode shape is not influenced by the nonlinear curvature and nonlinear damping. On the other hand, in the direct approach, the mode shape is not assumed a priori; the nonlinear effects modify the linear mode shape ¢n. Therefore, in the case of large-amplitude oscillations, the single-mode discretization may yield inaccurate mode shapes. References 1. Vakakis, A. F., Manevitch, L. I., Mikhlin, Y. v., Pilipchuk, V. N., and Zevin A. A., Nonnal Modes and Localization in Nonlinear Systems, Wiley, New York, 1996.