Nonstandard analysis: theory and applications

1 بیش از سی سال پس از کشف آن توسط آبراهام رابینسون، ایده‌ها و تکنیک‌های تحلیل غیراستاندارد (NSA) در سراسر طیف ریاضی به کار گرفته می‌شوند و همچنین به خودی خود یک زمینه مهم تحقیقاتی را تشکیل می‌دهند. روش های فعلی NSA اکنون کار اصلی رابینسون را با بی نهایت کوچک گسترش می دهد. با این حال، در حالی که طیف وسیعی از برنامه‌ها گسترده است، برخی از مضامین اساسی باز می‌گردند. چارچوب غیراستاندارد به بسیاری از ایده‌های غیررسمی (که می‌توان آن‌ها را به راحتی به عنوان ایده‌آل‌سازی توصیف کرد) اجازه می‌دهد تا دقیق و قابل اجرا باشند. به عنوان مثال، خط واقعی را می توان (در این چارچوب) به طور همزمان به عنوان یک پیوستار و مجموعه ای گسسته از نقاط در نظر گرفت. و یک رویکرد دوگانه مشابه را می توان برای پیوند مفاهیم بینهایت و متناهی، خشن و صاف استفاده کرد. این ابزارهای قدرتمندی را برای ریاضیدان محقق فراهم کرده است - به عنوان مثال Loeb فضاها را در تحلیل تصادفی و کاربردهای آن و بدنه های غیر استاندارد در فضاهای Banach اندازه گیری می کند. دستاوردهای NSA را می توان در عناوین (1) توضیح - ارائه بینش تازه یا رویکردهای جدید به نظریه های تثبیت شده خلاصه کرد. (ii) کشف - منجر به نتایج جدید در بسیاری از زمینه ها. (iii) اختراع - ارائه ساختارهای جدید و غنی که در مدل سازی و نمایش مفید هستند و همچنین به خودی خود مورد توجه هستند. هدف جلد حاضر این است که قدرت و دامنه کاربرد NSA را به طور گسترده‌تر شناخته و در اختیار ریاضی‌دانان محقق قرار دهد.

1 More than thirty years after its discovery by Abraham Robinson , the ideas and techniques of Nonstandard Analysis (NSA) are being applied across the whole mathematical spectrum,as well as constituting an im­ portant field of research in their own right. The current methods of NSA now greatly extend Robinson's original work with infinitesimals. However, while the range of applications is broad, certain fundamental themes re­ cur. The nonstandard framework allows many informal ideas (that could loosely be described as idealisation) to be made precise and tractable. For example, the real line can (in this framework) be treated simultaneously as both a continuum and a discrete set of points; and a similar dual ap­ proach can be used to link the notions infinite and finite, rough and smooth. This has provided some powerful tools for the research mathematician - for example Loeb measure spaces in stochastic analysis and its applications, and nonstandard hulls in Banach spaces. The achievements of NSA can be summarised under the headings (i) explanation - giving fresh insight or new approaches to established theories; (ii) discovery - leading to new results in many fields; (iii) invention - providing new, rich structures that are useful in modelling and representation, as well as being of interest in their own right. The aim of the present volume is to make the power and range of appli­ cability of NSA more widely known and available to research mathemati­ cians.