Nonstandard Analysis for the Working Mathematician

این ویرایش دوم با فرمول‌بندی ساده‌ای که برای همه ریاضیدانان قابل دسترسی است شروع می‌شود تا مقدمه‌ای کامل بر تحلیل غیراستاندارد ارائه کند. آنالیز غیراستاندارد در حال حاضر ابزاری قوی و توسعه یافته برای حل مسائل باز تقریباً در تمام رشته های ریاضیات است. اغلب به عنوان یک "سلاح مخفی" توسط کسانی که این تکنیک را می دانند استفاده می شود.

این کتاب با برخی از برجسته ترین کاربردها در تجزیه و تحلیل، توپولوژی، تجزیه و تحلیل عملکردی، احتمالات و تحلیل تصادفی، موضوع را روشن می کند. و همچنین کاربردها در اقتصاد و نظریه اعداد ترکیبی. فصل اول برای تسهیل یادگیری این تکنیک برای مبتدیان با شروع با حساب دیفرانسیل و انتگرال و تحلیل واقعی پایه طراحی شده است. فصل دوم مهمترین ابزارهای تحلیل غیراستاندارد را در اختیار خواننده قرار می دهد: اصل انتقال، اصل تعریف داخلی کیسلر، اصل سرریز و اشباع. فصل‌های باقی‌مانده کتاب زمینه‌های مختلف را برای کاربردها مطالعه می‌کنند. هر کدام با مقدمه‌ای ملایم شروع می‌شوند و سپس راه‌حل‌های مسائل باز را بررسی می‌کنند.

همه فصل‌های این ویرایش دوم با چندین فصل کاملاً جدید در مورد فشرده‌سازی و تئوری اعداد، دوباره کار شده و به‌روزرسانی شده‌اند. تحلیل غیراستاندارد برای ریاضیدان شاغل هم برای متخصصان و هم برای افراد غیرمتخصص قابل دسترسی خواهد بود و در نهایت بینش های جدید و مفید زیادی را در مورد فعالیت ریاضیات ارائه خواهد کرد.

Starting with a simple formulation accessible to all mathematicians, this second edition is designed to provide a thorough introduction to nonstandard analysis. Nonstandard analysis is now a well-developed, powerful instrument for solving open problems in almost all disciplines of mathematics; it is often used as a ‘secret weapon’ by those who know the technique.

This book illuminates the subject with some of the most striking applications in analysis, topology, functional analysis, probability and stochastic analysis, as well as applications in economics and combinatorial number theory. The first chapter is designed to facilitate the beginner in learning this technique by starting with calculus and basic real analysis. The second chapter provides the reader with the most important tools of nonstandard analysis: the transfer principle, Keisler’s internal definition principle, the spill-over principle, and saturation. The remaining chapters of the book study different fields for applications; each begins with a gentle introduction before then exploring solutions to open problems.

All chapters within this second edition have been reworked and updated, with several completely new chapters on compactifications and number theory. Nonstandard Analysis for the Working Mathematician will be accessible to both experts and non-experts, and will ultimately provide many new and helpful insights into the enterprise of mathematics.