Nonsmooth Equations in Optimization: Regularity, Calculus, Methods, and Applications

بسیاری از سؤالات مربوط به حل‌پذیری، پایداری و روش‌های حل نابرابری‌ها یا مسائل تعادلی، بهینه‌سازی و تکمیلی منجر به تجزیه و تحلیل معادلات معین (آشفتگی) می‌شود. این اغلب مستلزم فرمول بندی مدل اولیه در حال بررسی است. با توجه به ویژگی مسئله اصلی، معادله حاصل معمولاً یا قابل تغییر نیست (حتی اگر داده های مدل اصلی صاف باشند)، یا مفروضات قضیه تابع ضمنی کلاسیک را برآورده نمی کند. این پدیده دلیل اصلی این است که ابزار تحلیلی قابل توجهی در رابطه با معادلات تعمیم یافته (یعنی یافتن صفرهای نگاشت چند ارزشی) و معادلات غیر هموار (یعنی توابع تعیین کننده به طور مداوم قابل تمایز نیستند) در طول 20 سال گذشته توسعه یافته است. سال‌ها، و آن تحت دیدگاه‌ها و مفروضات بسیار متفاوت. در این نظریه، فرضیه‌های کلاسیک تحلیل محدب، به‌ویژه، یکنواختی و محدب، تضعیف یا حذف شده‌اند و دامنه کاربردهای احتمالی بسیار وسیع به نظر می‌رسد. به طور خلاصه، این رشته غالباً آنالیز غیرهموار و گاهی تحلیل متغیر نیز نامیده می شود. کتاب ما در این رشته قرار می گیرد، با این حال، هدف اصلی ما توسعه نظریه تحلیلی در ارتباط نزدیک با نیازهای برنامه های کاربردی در بهینه سازی و موضوعات مرتبط است. موضوعات اصلی کتاب 1. تجزیه و تحلیل گسترده توابع Lipschitz و مشتقات تعمیم یافته آنها، از جمله "نقشه های نیوتن" و منظم بودن نگاشت های چند ارزشی. 2. اصل تقریب متوالی تحت نظم متریک و اعمال آن به توابع ضمنی.

Many questions dealing with solvability, stability and solution methods for va- ational inequalities or equilibrium, optimization and complementarity problems lead to the analysis of certain (perturbed) equations. This often requires a - formulation of the initial model being under consideration. Due to the specific of the original problem, the resulting equation is usually either not differ- tiable (even if the data of the original model are smooth), or it does not satisfy the assumptions of the classical implicit function theorem. This phenomenon is the main reason why a considerable analytical inst- ment dealing with generalized equations (i.e., with finding zeros of multivalued mappings) and nonsmooth equations (i.e., the defining functions are not c- tinuously differentiable) has been developed during the last 20 years, and that under very different viewpoints and assumptions. In this theory, the classical hypotheses of convex analysis, in particular, monotonicity and convexity, have been weakened or dropped, and the scope of possible applications seems to be quite large. Briefly, this discipline is often called nonsmooth analysis, sometimes also variational analysis. Our book fits into this discipline, however, our main intention is to develop the analytical theory in close connection with the needs of applications in optimization and related subjects. Main Topics of the Book 1. Extended analysis of Lipschitz functions and their generalized derivatives, including ”Newton maps” and regularity of multivalued mappings. 2. Principle of successive approximation under metric regularity and its - plication to implicit functions.