Nonsmooth Approach to Optimization Problems with Equilibrium Constraints: Theory, Applications and Numerical Results

در اوایل دهه پنجاه، ریاضیدانان کاربردی، مهندسان و اقتصاددانان شروع به توجه بیشتر به مسائل بهینه‌سازی کردند که در آن یک مسئله بهینه‌سازی دیگر (پایین‌تر) به عنوان یک محدودیت جانبی مطرح می‌شود. یکی از عوامل محرک مفهوم راه حل استکلبرگ در تئوری بازی ها به همراه کاربردهای اقتصادی آن بود. مشکلات دیگری در دهه هفتاد در علوم طبیعی و مهندسی وجود داشته است. بسیاری از آنها اهمیت عملی دارند و عمدتاً از نقطه نظر نظری به طور گسترده مورد مطالعه قرار گرفته اند. بعداً، کاربردهای مکانیک و طراحی شبکه به گسترش فرمول مسئله منجر شد: محدودیت‌هایی در قالب نابرابری‌های تغییرات و مشکلات مکمل نیز پذیرفته شد. اصطلاح «مسائل برنامه‌نویسی دو سطحی تعمیم‌یافته» در ابتدا مورد استفاده قرار گرفت، اما بعدها، احتمالاً در هارکر و پانگ، 1988، یک اصطلاح متفاوت معرفی شد: برنامه‌های ریاضی با محدودیت‌های تعادلی، یا به سادگی، MPEC. در این کتاب ما به اصطلاحات MPEC پایبند هستیم. تعداد زیادی از مقالات به MPEC ها می پردازند، اما طبق دانش ما، تنها یک تک نگاری وجود دارد (لو و همکاران، 1997). این تک نگاری بر شرایط بهینه و روش های عددی تمرکز دارد. کتاب ما به طور مشابهی جهت‌گیری دارد، اما ما بر روی آن دسته از MPEC‌هایی تمرکز می‌کنیم که می‌توانند با رویکرد برنامه‌نویسی ضمنی درمان شوند: محدودیت تعادل به صورت محلی یک تابع ضمنی خاص را تعریف می‌کند و اجازه می‌دهد تا مسئله را به یک برنامه ریاضی با هدف غیرهموار تبدیل کند.

In the early fifties, applied mathematicians, engineers and economists started to pay c10se attention to the optimization problems in which another (lower-Ievel) optimization problem arises as a side constraint. One of the motivating factors was the concept of the Stackelberg solution in game theory, together with its economic applications. Other problems have been encountered in the seventies in natural sciences and engineering. Many of them are of practical importance and have been extensively studied, mainly from the theoretical point of view. Later, applications to mechanics and network design have lead to an extension of the problem formulation: Constraints in form of variation al inequalities and complementarity problems were also admitted. The term "generalized bi level programming problems" was used at first but later, probably in Harker and Pang, 1988, a different terminology was introduced: Mathematical programs with equilibrium constraints, or simply, MPECs. In this book we adhere to MPEC terminology. A large number of papers deals with MPECs but, to our knowledge, there is only one monograph (Luo et al. , 1997). This monograph concentrates on optimality conditions and numerical methods. Our book is oriented similarly, but we focus on those MPECs which can be treated by the implicit programming approach: the equilibrium constraint locally defines a certain implicit function and allows to convert the problem into a mathematical program with a nonsmooth objective.