Nonselfadjoint Operators and Related Topics: Workshop on Operator Theory and Its Applications, Beersheva, February 24–28, 1992

هدف ما یافتن پایه های گرابنر برای چندجمله ای ها در چهار مجموعه عبارات مختلف است: 1 x- , (1 - x)-1 (RESOL) X, 1 x- (1 - xy)-1 (EB) X, ، y-1، (1-yx)-1 y، (1_y)-1 (1-x)-1 (preNF) (EB) به علاوه و (1 - xy) 1/2 (1 - yx )1/2 (NF) (preNF) plus و اکثر فرمول‌ها در نظریه مدل عملگر Nagy-Foias [NF] چند جمله‌ای در این عبارات هستند که x = T و y = T *. چند جمله ای های پیچیده را اغلب می توان با اعمال \"قوانین جایگزین\" ساده کرد. به عنوان مثال، چند جمله ای (1 - xy)-2 - 2xy(1-xy)-2 + xy2 (1 - xy)-2 -1 به O ساده می شود. این را می توان با سه کاربرد قانون جایگزینی مشاهده کرد (1- xy) -1 xy -t (1 - xy)-1 -1 که به دلیل تعریف (1-xy)-1 درست است. یک قانون جایگزین شامل یک سمت چپ (LHS) و یک سمت راست (RHS) است. LHS همیشه یک واحد خواهد بود. RHS یک چند جمله ای خواهد بود که اصطلاحات آن از LHS «ساده تر» (به تعبیری دقیق تر) هستند. یک بیان با جایگزینی مکرر هر گونه LHS با RHS مربوطه کاهش می یابد. تک نام ها به خوبی مرتب می شوند، بنابراین روند کاهش پس از مراحل بسیار محدود خاتمه می یابد. هدف ما ارائه لیستی از قوانین جایگزینی برای کلاس های عبارات بالا است. این قوانین، زمانی که بر روی کامپیوتر اجرا می شوند، یک فرآیند ساده سازی خودکار کارآمد را ارائه می دهند. ما بعداً ترتیب روی تک‌جملات را مورد بحث و تعریف قرار می‌دهیم.

Our goal is to find Grabner bases for polynomials in four different sets of expressions: 1 x- , (1 - x)-1 (RESOL) X, 1 x- (1 - xy)-1 (EB) X, , y-1, (1-yx)-1 y, (1_y)-1 (1-x)-1 (preNF) (EB) plus and (1 - xy)1/2 (1 - yx )1/2 (NF) (preNF) plus and Most formulas in the theory of the Nagy-Foias operator model [NF] are polynomials in these expressions where x = T and y = T*. Complicated polynomials can often be simplified by applying "replacement rules". For example, the polynomial (1 - xy)-2 - 2xy(1-xy)-2 + xy2 (1 - xy)-2 -1 simplifies to O. This can be seen by three applications of the replacement rule (1-xy) -1 xy -t (1 - xy)-1 -1 which is true because of the definition of (1-xy)-1. A replacement rule consists of a left hand side (LHS) and a right hand side (RHS). The LHS will always be a monomial. The RHS will be a polynomial whose terms are "simpler" (in a sense to be made precise) than the LHS. An expression is reduced by repeatedly replacing any occurrence of a LHS by the corresponding RHS. The monomials will be well-ordered, so the reduction procedure will terminate after finitely many steps. Our aim is to provide a list of substitution rules for the classes of expressions above. These rules, when implemented on a computer, provide an efficient automatic simplification process. We discuss and define the ordering on monomials later.