Nonlinear Principal Component Analysis and Its Applications

این کتاب اصل و کاربردهای مرتبط تجزیه و تحلیل مؤلفه های اصلی غیرخطی (PCA) را توضیح می دهد، که روشی مفید برای تجزیه و تحلیل داده های سطوح اندازه گیری مختلط است. در بخش مربوط به اصل، پس از معرفی مختصر PCA معمولی، یک PCA برای داده های طبقه بندی شده (اسمی و ترتیبی) به عنوان PCA غیرخطی معرفی می شود که در آن از یک تکنیک مقیاس پذیری بهینه برای تعیین کمیت متغیرهای طبقه بندی استفاده می شود. حداقل مربعات متناوب (ALS) الگوریتم اصلی در روش است. تجزیه و تحلیل مکاتبات چندگانه (MCA)، یک مورد خاص از PCA غیرخطی، نیز معرفی شده است. تمام فرمول‌بندی‌ها در این روش‌ها به همان شیوه‌ای که عملیات ماتریسی دارند یکپارچه می‌شوند. از آنجا که هر داده سطوح اندازه گیری را می توان به طور مداوم به عنوان داده های عددی در نظر گرفت و ALS ابزار بسیار قدرتمندی برای تخمین ها است، این روش ها را می توان در زمینه های مختلفی مانند بیومتریک، اقتصاد سنجی، روان سنجی و جامعه شناسی مورد استفاده قرار داد. در بخش کاربردهای کتاب، چهار کاربرد معرفی شده است: انتخاب متغیر برای داده‌های سطوح اندازه‌گیری مختلط، MCA پراکنده، کاهش ابعاد مشترک و روش‌های خوشه‌بندی برای داده‌های طبقه‌بندی، و شتاب محاسبات ALS. روش‌های انتخاب متغیر در PCA که در ابتدا برای داده‌های عددی توسعه داده شدند را می‌توان با استفاده از PCA غیرخطی برای هر نوع سطح اندازه‌گیری اعمال کرد. پراکندگی و کاهش ابعاد مشترک و خوشه‌بندی برای داده‌های غیرخطی، نتایج مطالعات اخیر، توسعه‌هایی هستند که توسط عملیات ماتریس مشابه در PCA غیرخطی به دست آمده‌اند. در نهایت، یک الگوریتم شتاب برای کاهش مشکل هزینه محاسباتی در تکرار ALS در روش‌های چند متغیره غیرخطی پیشنهاد شده‌است. بنابراین، این کتاب سودمندی PCA غیرخطی را ارائه می دهد که می تواند برای داده های سطوح اندازه گیری مختلف در زمینه های مختلف اعمال شود. همچنین، آخرین موضوعات از جمله گسترش روش آماری سنتی، روش‌های غیرخطی جدید پیشنهادی، و کارایی محاسباتی در روش‌ها را پوشش می‌دهد.

This book expounds the principle and related applications of nonlinear principal component analysis (PCA), which is useful method to analyze mixed measurement levels data. In the part dealing with the principle, after a brief introduction of ordinary PCA, a PCA for categorical data (nominal and ordinal) is introduced as nonlinear PCA, in which an optimal scaling technique is used to quantify the categorical variables. The alternating least squares (ALS) is the main algorithm in the method. Multiple correspondence analysis (MCA), a special case of nonlinear PCA, is also introduced. All formulations in these methods are integrated in the same manner as matrix operations. Because any measurement levels data can be treated consistently as numerical data and ALS is a very powerful tool for estimations, the methods can be utilized in a variety of fields such as biometrics, econometrics, psychometrics, and sociology. In the applications part of the book, four applications are introduced: variable selection for mixed measurement levels data, sparse MCA, joint dimension reduction and clustering methods for categorical data, and acceleration of ALS computation. The variable selection methods in PCA that originally were developed for numerical data can be applied to any types of measurement levels by using nonlinear PCA. Sparseness and joint dimension reduction and clustering for nonlinear data, the results of recent studies, are extensions obtained by the same matrix operations in nonlinear PCA. Finally, an acceleration algorithm is proposed to reduce the problem of computational cost in the ALS iteration in nonlinear multivariate methods. This book thus presents the usefulness of nonlinear PCA which can be applied to different measurement levels data in diverse fields. As well, it covers the latest topics including the extension of the traditional statistical method, newly proposed nonlinear methods, and computational efficiency in the methods.