Nonlinear Diffusion Equations and Their Equilibrium States I: Proceedings of a Microprogram held August 25–September 12, 1986

در سال‌های اخیر توجه قابل‌توجهی بر روی مسائل انتشار غیرخطی متمرکز شده است، معادله کهن‌الگوی آنها Ut = D.u + f(u) است. در اینجا D. نشان دهنده لاپلاسین n بعدی است، راه حل u = u(x, t) بر روی دامنه فضا-زمان شکل n x [O,T] تعریف شده است، و f(u) یک تابع واقعی داده شده است که شکل آن توسط کاربردهای مختلف فیزیکی و ریاضی تعیین می شود. این کاربردها متنوع‌تر و گسترده‌تر شده‌اند زیرا نشان داده شده است که مسئله پس از مسئله به معادله‌ای از این نوع یا معادله مستقل از زمان آن، معادله بیضوی تعادل D.u + f(u) = o منجر می‌شود. موارد خاص به عنوان مثال در ژنتیک جمعیت، فیزیک پایداری شفاف nu، انتقال فاز بین مایعات و گازها، جریان در محیط متخلخل، معادله لند-امدن اخترفیزیک، مدل‌های مختلف احتراق ساده شده، و در تعیین معیارهایی که متوجه می‌شوند، به وجود می‌آیند. انحناهای اسکالر یا گاوسی داده شده است. به عنوان مثال، در جهت دوم، مشکل یافتن معیارهای منسجم با انحنای تجویز شده منجر به یک مشکل حالت پایه می شود که شامل شارحان بحرانی است. بنابراین نه تنها تحلیلگران، بلکه هندسه شناسان نیز می توانند زمینه های مشترکی را در کار حاضر بیابند. مسئله ریاضی مربوطه تعیین این است که چگونه ساختار تابع غیرخطی f(u) بر رفتار راه حل تأثیر می گذارد.

In recent years considerable interest has been focused on nonlinear diffu­ sion problems, the archetypical equation for these being Ut = D.u + f(u). Here D. denotes the n-dimensional Laplacian, the solution u = u(x, t) is defined over some space-time domain of the form n x [O,T], and f(u) is a given real function whose form is determined by various physical and mathematical applications. These applications have become more varied and widespread as problem after problem has been shown to lead to an equation of this type or to its time-independent counterpart, the elliptic equation of equilibrium D.u + f(u) = o. Particular cases arise, for example, in population genetics, the physics of nu­ clear stability, phase transitions between liquids and gases, flows in porous media, the Lend-Emden equation of astrophysics, various simplified com­ bustion models, and in determining metrics which realize given scalar or Gaussian curvatures. In the latter direction, for example, the problem of finding conformal metrics with prescribed curvature leads to a ground state problem involving critical exponents. Thus not only analysts, but geome­ ters as well, can find common ground in the present work. The corresponding mathematical problem is to determine how the struc­ ture of the nonlinear function f(u) influences the behavior of the solution.