Nondifferentiable Optimization and Polynomial Problems

مسائل چند جمله‌ای اکسترمال (PEP) یکی از مهم‌ترین زیر کلاس‌های مدل‌های برنامه‌ریزی غیرخطی را تشکیل می‌دهند. ویژگی متمایز آنها این است که یک تابع هدف و محدودیت ها را می توان با توابع چند جمله ای در یک یا چند متغیر بیان کرد. فرض کنید :e = {:e 1, ... , :en} بردار در فضای خطی واقعی n بعدی Rn باشد. n PO(:e)، PI (:e)، ...، Pm (:e) توابع چند جمله ای در R با ضرایب واقعی هستند. به طور کلی، یک PEP را می توان به شکل زیر فرموله کرد: (0.1) پیدا کردن r = inf Po(:e) مشروط به قیود (0.2) Pi (:e) = 0، i=l، ...، m (a محدودیت در شکل نابرابری را می توان با معرفی یک متغیر جدید به شکل برابری نوشت: به عنوان مثال، P( x) ~ 0 معادل P(:e) + y2 = 0 است. مسائل چند جمله‌ای بولی و مختلط را می‌توان به شکل معمول با اضافه کردن تساوی برای هر متغیر بولی z نوشت: Z2 - Z = O. بگذارید a = {al, ... ,a } بردار عدد صحیح با ورودی‌های غیرمنفی {a;}f باشد. =l. n با R[a](:e) یک جمله در n متغیر به شکل نشان دهید: n R[a](:e) = IT :ef'; ;=1 d(a) = 2:7=1 ai درجه کل تک جمله R[a] است. هر چند جمله ای در n متغیر را می توان به صورت مجموع تک جمله ها با ضرایب غیر صفر نوشت: P(:e) = L caR[a](:e)، aEA{P) IX x بهینه سازی غیر قابل تمایز و مسائل چند جمله ای که در آن A(P) برابر است. مجموعه ای از تک جمله های موجود در چند جمله ای P.

Polynomial extremal problems (PEP) constitute one of the most important subclasses of nonlinear programming models. Their distinctive feature is that an objective function and constraints can be expressed by polynomial functions in one or several variables. Let :e = {:e 1, ... , :en} be the vector in n-dimensional real linear space Rn; n PO(:e), PI (:e), ... , Pm (:e) are polynomial functions in R with real coefficients. In general, a PEP can be formulated in the following form: (0.1) find r = inf Po(:e) subject to constraints (0.2) Pi (:e) =0, i=l, ... ,m (a constraint in the form of inequality can be written in the form of equality by introducing a new variable: for example, P( x) ~ 0 is equivalent to P(:e) + y2 = 0). Boolean and mixed polynomial problems can be written in usual form by adding for each boolean variable z the equality: Z2 - Z = O. Let a = {al, ... ,a } be integer vector with nonnegative entries {a;}f=l. n Denote by R[a](:e) monomial in n variables of the form: n R[a](:e) = IT :ef'; ;=1 d(a) = 2:7=1 ai is the total degree of monomial R[a]. Each polynomial in n variables can be written as sum of monomials with nonzero coefficients: P(:e) = L caR[a](:e), aEA{P) IX x Nondifferentiable optimization and polynomial problems where A(P) is the set of monomials contained in polynomial P.