Noncausal Stochastic Calculus

این کتاب مقدمه‌ای مقدماتی بر نظریه حساب تصادفی غیرعلّی ارائه می‌کند که به عنوان جایگزینی طبیعی برای نظریه استاندارد حساب تصادفی که در سال 1944 توسط پروفسور کیوشی ایتو تأسیس شد، پدید می‌آید. همانطور که به طور کلی شناخته شده است، حساب Itô اساساً مبتنی بر "فرضیه علیت" است، و از توابع تصادفی می خواهد که با یک فیلتراسیون طبیعی ایجاد شده توسط حرکت براونی یا به طور کلی تر توسط مارتینگل مربعی انتگرال پذیر سازگار شوند.
هدف در این کتاب وجود دارد. ایجاد یک حساب تصادفی است که از این "فرضیه علیت" فارغ باشد. به بیان دقیق‌تر، یک نظریه غیرعلّی از حساب تصادفی در این کتاب بر اساس انتگرال غیرعلّی معرفی شده توسط نویسنده در سال 1979 ارائه شده است.
پس از مطالعه ویژگی‌های اساسی انتگرال تصادفی غیرعلّی، مسائل انضمامی مختلفی با ماهیت غیرعلی مورد بررسی قرار می‌گیرند. که بیشتر در رابطه با معادلات تابعی تصادفی مانند SDE، SIE، SPDE و غیره است، تا نه تنها ضرورت وجود چنین نظریه ای از محاسبات تصادفی غیرعلی بلکه امکان رو به رشد آن را به عنوان ابزاری برای مدل سازی و تحلیل در هر حوزه از علوم ریاضی نشان دهد. خواننده ممکن است مشکلات باز زیادی را نیز در آنجا بیابد.

This book presents an elementary introduction to the theory of noncausal stochastic calculus that arises as a natural alternative to the standard theory of stochastic calculus founded in 1944 by Professor Kiyoshi Itô. As is generally known, Itô Calculus is essentially based on the "hypothesis of causality", asking random functions to be adapted to a natural filtration generated by Brownian motion or more generally by square integrable martingale.
The intention in this book is to establish a stochastic calculus that is free from this "hypothesis of causality". To be more precise, a noncausal theory of stochastic calculus is developed in this book, based on the noncausal integral introduced by the author in 1979.
After studying basic properties of the noncausal stochastic integral, various concrete problems of noncausal nature are considered, mostly concerning stochastic functional equations such as SDE, SIE, SPDE, and others, to show not only the necessity of such theory of noncausal stochastic calculus but also its growing possibility as a tool for modeling and analysis in every domain of mathematical sciences. The reader may find there many open problems as well.