Non-Homogeneous Boundary Value Problems and Applications: Vol. 1

1. ما در ابتدا به روشی کاملاً رسمی، هدف اساسی خود را شرح می دهیم. n فرض کنید m یک زیرمجموعه op en از R با مرز am باشد. در m و on am به ترتیب عملگرهای دیفرانسیل خطی P و Qj' 0 ~ i ~ 'V را معرفی می کنیم. منظور ما از \"مسئله مقدار مرزی ناهمگن\" یک مسئله از نوع زیر است: اجازه دهید f و gj' 0 ~ i ~ 'v، در فضای تابع s F و G داده شوند، F یک فاصله\" در m است. \" و فضاهای G/s\" در am\" ; j ما u را در یک فضای تابع u/t \"on m\" جستجو می کنیم که رضایت (1) Pu = f در m، (2) Qju = gj در am، 0 ~ i ~ 'v«]) را دارد). Qj ممکن است در بخشی از am به طور یکسان صفر باشد، به طوری که تعداد شرایط مرزی ممکن است به قسمت am در نظر گرفته شده 2 بستگی داشته باشد. (2) یک راه حل منحصر به فرد u E U/t را می پذیرد که 3 به طور مداوم به داده ها بستگی دارد. اما برای مسائل تمام خطی، تعداد زیادی choiees برای فضای s u/t و {F; G} (به طور طبیعی d را به هم پیوند می دهد). j به طور کلی، هدف ما تعیین خانواده فضاهای 'ft و {F; G}، به روشی \"طبیعی\" با مشکل (1)، (2) و مناسب برای برنامه‌ها، و همچنین همه گزینه‌های ممکن برای u/t و {F; G} j در این خانواده ها.

1. We describe, at first in a very formaI manner, our essential aim. n Let m be an op en subset of R , with boundary am. In m and on am we introduce, respectively, linear differential operators P and Qj' 0 ~ i ~ 'V. By "non-homogeneous boundary value problem" we mean a problem of the following type: let f and gj' 0 ~ i ~ 'v, be given in function space s F and G , F being a space" on m" and the G/ s spaces" on am" ; j we seek u in a function space u/t "on m" satisfying (1) Pu = f in m, (2) Qju = gj on am, 0 ~ i ~ 'v«])). Qj may be identically zero on part of am, so that the number of boundary conditions may depend on the part of am considered 2. We take as "working hypothesis" that, for fEF and gjEG , j the problem (1), (2) admits a unique solution u E U/t, which depends 3 continuously on the data . But for alllinear probIems, there is a large number of choiees for the space s u/t and {F; G} (naturally linke d together). j Generally speaking, our aim is to determine families of spaces 'ft and {F; G}, associated in a "natural" way with problem (1), (2) and con­ j venient for applications, and also all possible choiees for u/t and {F; G} j in these families.