Multivariate Statistical Analysis: A High-Dimensional Approach

در چند دهه اخیر انباشته شدن مقادیر زیادی از در شکل گیری در کاربردهای متعدد. باعث افزایش علاقه به تحلیل چند متغیره شده است. فن آوری های کامپیوتری به فرد اجازه می دهد تا از مدل های چند بعدی و چند پارامتری با موفقیت استفاده کند. در همان زمان، علاقه به تجزیه و تحلیل آماری با کمبود داده های نمونه به وجود آمد. با این وجود، توصیف وضعیت اخیر در روش‌های چند متغیره به‌عنوان رضایت‌بخش دشوار است. روش‌های آماری غیرقابل بهبود (مسلط) به جز چند مورد خاص هنوز ناشناخته هستند. ساده ترین مسئله تخمین بردار میانگین با حداقل ریسک درجه دوم حتی برای توزیع های نرمال حل نشده است. روش‌های استاندارد چند متغیره خطی که معمولاً بر اساس وارونگی ماتریس‌های کوواریانس نمونه استفاده می‌شوند، می‌توانند منجر به نتایج ناپایدار شوند یا هیچ راه‌حلی در وابستگی به داده‌ها ارائه نکنند. برنامه های موجود در بسته های آماری استاندارد نمی توانند "داده های چند خطی" را پردازش کنند و هیچ توصیه نظری جز نادیده گرفتن بخشی از داده ها وجود ندارد. احتمال انحطاط داده‌ها با بعد n افزایش می‌یابد و برای n>N که N اندازه نمونه است، ماتریس کوواریانس نمونه معکوس ندارد. بنابراین تقریباً تمام روش‌های خطی مرسوم آمار چند متغیره غیرقابل اعتماد هستند یا حتی برای داده‌های با ابعاد بالا قابل اجرا نیستند.

In the last few decades the accumulation of large amounts of in­ formation in numerous applications. has stimtllated an increased in­ terest in multivariate analysis. Computer technologies allow one to use multi-dimensional and multi-parametric models successfully. At the same time, an interest arose in statistical analysis with a de­ ficiency of sample data. Nevertheless, it is difficult to describe the recent state of affairs in applied multivariate methods as satisfactory. Unimprovable (dominating) statistical procedures are still unknown except for a few specific cases. The simplest problem of estimat­ ing the mean vector with minimum quadratic risk is unsolved, even for normal distributions. Commonly used standard linear multivari­ ate procedures based on the inversion of sample covariance matrices can lead to unstable results or provide no solution in dependence of data. Programs included in standard statistical packages cannot process 'multi-collinear data' and there are no theoretical recommen­ dations except to ignore a part of the data. The probability of data degeneration increases with the dimension n, and for n > N, where N is the sample size, the sample covariance matrix has no inverse. Thus nearly all conventional linear methods of multivariate statis­ tics prove to be unreliable or even not applicable to high-dimensional data.