Multiple Wiener-Itô Integrals: With Applications to Limit Theorems

هدف این یادداشت سخنرانی اثبات نوع جدیدی از قضایای حدی برای مجموع نرمال شده متغیرهای تصادفی به شدت وابسته است که نقش مهمی در نظریه احتمال یا فیزیک آماری دارند. در اینجا توابع غیر خطی میدان‌های گاوسی ساکن در نظر گرفته می‌شوند و نشان داده می‌شود که نظریه انتگرال‌های وینر-Itô ابزار ارزشمندی در مطالعه آنها ارائه می‌کند. به طور دقیق تر، نسخه ای از این انتگرال های تصادفی معرفی شده است که ما را قادر می سازد تکنیک انتگرال های تصادفی و تحلیل فوریه را ترکیب کنیم. مهمترین نتایج این نظریه همراه با برخی از قضایای حدی غیر پیش پا افتاده ارائه شده است که با کمک آنها اثبات شده است.

این اثر نسخه جدید و اصلاح شده جلد قبلی است که با هدف ارائه توضیح بهتر نوشته شده است. برخی از جزئیات و انگیزه پشت شواهد. این شامل نتایج اساسا جدید نیست. این نوشته شد تا بینش بهتری به قدیمی ها بدهد. به طور خاص، توضیح دقیق‌تری از زمینه‌های تعمیم‌یافته گنجانده شده است تا نشان دهد آنچه در نگاه اول یک شی نسبتاً رسمی است، در واقع ابزار مفیدی برای اجرای استدلال‌های اکتشافی است.

The goal of this Lecture Note is to prove a new type of limit theorems for normalized sums of strongly dependent random variables that play an important role in probability theory or in statistical physics. Here non-linear functionals of stationary Gaussian fields are considered, and it is shown that the theory of Wiener–Itô integrals provides a valuable tool in their study. More precisely, a version of these random integrals is introduced that enables us to combine the technique of random integrals and Fourier analysis. The most important results of this theory are presented together with some non-trivial limit theorems proved with their help.

This work is a new, revised version of a previous volume written with the goal of giving a better explanation of some of the details and the motivation behind the proofs. It does not contain essentially new results; it was written to give a better insight to the old ones. In particular, a more detailed explanation of generalized fields is included to show that what is at the first sight a rather formal object is actually a useful tool for carrying out heuristic arguments.