Multidimensional Periodic Schrödinger Operator: Perturbation Theory and Applications

این کتاب مشکلات مستقیم و معکوس عملگر چند بعدی شرودینگر با پتانسیل تناوبی را شرح می دهد. این مربوط به نظریه اغتشاش و تعیین سازنده متغیرهای طیفی و یافتن پتانسیل تناوبی از مقادیر ویژه بلوخ است. روش منحصر به فرد این کتاب فرمول مجانبی برای مقادیر ویژه بلوخ و توابع بلوخ برای ابعاد دلخواه را استخراج می کند. علاوه بر این، اندازه‌گیری سطوح هم‌انرژی در منطقه پر انرژی ساخته و تخمین زده می‌شود. این حاکی از اعتبار حدس بته-سومرفلد برای ابعاد دلخواه و شبکه های دلخواه است. با استفاده از تئوری اغتشاش ساخته شده در این کتاب، متغیرهای طیفی عملگر چند بعدی از مقادیر ویژه بلوخ تعیین می‌شوند. برخی از این متغیرها به صراحت با ضرایب فوریه پتانسیل بیان می شوند. به این ترتیب امکان تعیین پتانسیل سازنده با استفاده از مقادیر ویژه Bloch به عنوان داده ورودی داده می شود. در پایان یک الگوریتم برای تعیین منحصر به فرد پتانسیل ارائه شده است.

The book describes the direct problems and the inverse problem of the multidimensional Schrödinger operator with a periodic potential. This concerns perturbation theory and constructive determination of the spectral invariants and finding the periodic potential from the given Bloch eigenvalues. The unique method of this book derives the asymptotic formulas for Bloch eigenvalues and Bloch functions for arbitrary dimension. Moreover, the measure of the iso-energetic surfaces in the high energy region is construct and estimated. It implies the validity of the Bethe-Sommerfeld conjecture for arbitrary dimensions and arbitrary lattices. Using the perturbation theory constructed in this book, the spectral invariants of the multidimensional operator from the given Bloch eigenvalues are determined. Some of these invariants are explicitly expressed by the Fourier coefficients of the potential. This way the possibility to determine the potential constructively by using Bloch eigenvalues as input data is given. In the end an algorithm for the unique determination of the potential is given.