Multidimensional Periodic Schrödinger Operator: Perturbation Theory and Applications

این کتاب مشکلات مستقیم و معکوس عملگر چند بعدی شرودینگر با پتانسیل تناوبی را شرح می دهد، موضوعی که به ویژه در نظریه اغتشاش، تعیین سازنده متغیرهای طیفی و یافتن تناوبی اهمیت دارد. پتانسیل از مقادیر ویژه Bloch داده شده است. این یک مشتق دقیق از فرمول‌های مجانبی برای مقادیر ویژه بلوخ و توابع بلوخ در ابعاد دلخواه در حین ساخت و تخمین اندازه‌گیری سطوح هم‌انرژی در رژیم پرانرژی ارائه می‌کند. علاوه بر این، یک روش منحصر به فرد را ارائه می دهد که اعتبار حدس بته-سومرفلد را برای ابعاد دلخواه و شبکه های دلخواه اثبات می کند. با استفاده از تئوری اغتشاش ساخته شده، متغیرهای طیفی عملگر چند بعدی را از مقادیر ویژه Bloch مشخص می کند. برخی از این متغیرها به صراحت توسط ضرایب فوریه پتانسیل بیان می‌شوند، که امکان تعیین پتانسیل را با استفاده از مقادیر ویژه Bloch به عنوان داده‌های ورودی ممکن می‌سازد. در نهایت، این کتاب یک الگوریتم برای تعیین منحصر به فرد پتانسیل ارائه می دهد. این ویرایش دوم به روز شده شامل یک فصل اضافی است که به طور خاص بر موارد با ابعاد پایین‌تر تمرکز می‌کند و مبنایی برای ملاحظات ابعاد بالاتر فصل‌های بعدی فراهم می‌کند.

This book describes the direct and inverse problems of the multidimensional Schrödinger operator with a periodic potential, a topic that is especially important in perturbation theory, constructive determination of spectral invariants and finding the periodic potential from the given Bloch eigenvalues. It provides a detailed derivation of the asymptotic formulas for Bloch eigenvalues and Bloch functions in arbitrary dimensions while constructing and estimating the measure of the iso-energetic surfaces in the high-energy regime. Moreover, it presents a unique method proving the validity of the Bethe–Sommerfeld conjecture for arbitrary dimensions and arbitrary lattices. Using the perturbation theory constructed, it determines the spectral invariants of the multidimensional operator from the given Bloch eigenvalues. Some of these invariants are explicitly expressed by the Fourier coefficients of the potential, making it possible to determine the potential constructively using Bloch eigenvalues as input data. Lastly, the book presents an algorithm for the unique determination of the potential. This updated second edition includes an additional chapter that specifically focuses on lower-dimensional cases, providing the basis for the higher-dimensional considerations of the chapters that follow.