Multi-Valued Fields

بیش از 30 سال، نویسنده جنبه‌های مدلی-نظری نظریه میدان‌های ارزشمند و حوزه‌های چند ارزشی را مطالعه کرده است. بسیاری از نتایج کلیدی موجود در این کتاب توسط نویسنده در حین تهیه نسخه خطی به دست آمده است. بنابراین نمای کلی منحصر به فرد نظریه، همانطور که در کتاب توسعه یافته است، قبلاً در دسترس نبوده است.
این کتاب به نظریه زمینه های ارزشمند و زمینه های چند ارزشی می پردازد. تئوری حلقه های پروفر از دیدگاه «هندسی» مورد بحث قرار می گیرد. نویسنده نشان می‌دهد که با معرفی توپولوژی Zariski بر روی خانواده‌های حلقه‌های ارزش‌گذاری، می‌توان دو زیرخانواده مهم حلقه‌های Prüfer را که مربوط به خانواده‌های Boolean و نزدیک به Boolean حلقه‌های ارزیابی هستند، تشخیص داد. همچنین، ویژگی‌های جبری و مدل-نظری میدان‌های چند ارزشی با خانواده‌های بولی نزدیک حلقه‌های ارزش‌گذاری که اصل محلی-جهانی را برآورده می‌کنند، مورد مطالعه قرار می‌گیرند. مهم است که این اصل ابتدایی است، یعنی می توان آن را به زبان حساب محمول بیان کرد. مهم‌ترین نتایج به‌دست‌آمده در این کتاب شامل معیاری برای ابتدایی بودن یک میدان چند ارزشی و معیاری برای هم ارزی ابتدایی برای فیلدهای چند ارزشی از کلاسی است که با شرایط اولیه طبیعی اضافی (غیر شاخه‌ای مطلق، حداکثری) تعریف شده است. و تقریباً تداوم خصوصیات ابتدایی محلی). این کتاب با یک فصل مختصر به بحث درباره منابع کتابشناختی موجود در مورد مطالب ارائه شده و تاریخچه کوتاهی از تحولات عمده در این زمینه پایان می‌یابد.

For more than 30 years, the author has studied the model-theoretic aspects of the theory of valued fields and multi-valued fields. Many of the key results included in this book were obtained by the author whilst preparing the manuscript. Thus the unique overview of the theory, as developed in the book, has been previously unavailable.
The book deals with the theory of valued fields and mutli-valued fields. The theory of Prüfer rings is discussed from the `geometric' point of view. The author shows that by introducing the Zariski topology on families of valuation rings, it is possible to distinguish two important subfamilies of Prüfer rings that correspond to Boolean and near Boolean families of valuation rings. Also, algebraic and model-theoretic properties of multi-valued fields with near Boolean families of valuation rings satisfying the local-global principle are studied. It is important that this principle is elementary, i.e., it can be expressed in the language of predicate calculus. The most important results obtained in the book include a criterion for the elementarity of an embedding of a multi-valued field and a criterion for the elementary equivalence for multi-valued fields from the class defined by the additional natural elementary conditions (absolute unramification, maximality and almost continuity of local elementary properties). The book concludes with a brief chapter discussing the bibliographic references available on the material presented, and a short history of the major developments within the field.