Moufang Polygons

ساختمان‌های کروی مجموعه‌های ساده ترکیبی خاصی هستند که در ابتدا به زبان \"هندسه‌های بروز\" معرفی شدند تا یک تفسیر هندسی سیستماتیک از گروه‌های پیچیده Lie ارائه دهند. (تعریف ساختمان از نظر سیستم های محفظه ای و تعاریف مفاهیم مختلف مرتبط به کار رفته در این مقدمه مانند \"ضخامت\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\" کروی\" و غیره. در فصل 39 آورده شده است.) از طریق مفهوم یک جفت BN، معلوم شد که این نظریه برای گروه های جبری ساده در یک میدان دلخواه اعمال می شود. به طور دقیق تر، به هر گروه جبری کاملاً ساده از رتبه نسبی مثبت £ یک ساختمان کروی تقلیل ناپذیر ضخیم با همان رتبه (اینها ساختمان های کروی جبری هستند) و نتیجه اصلی ساختمان های نوع کروی و جفت BN محدود است [101]. ] این است که برعکس، برای £ ::::: 3، تقریباً صادق است: (1. 1) قضیه. هر ساختمان کروی ضخیم تقلیل ناپذیر با رتبه حداقل سه کلاسیک، جبری یا مختلط است. ساختمان‌های کلاسیک آن‌هایی هستند که بر حسب هندسه یک گروه کلاسیک (مانند واحد، متعامد، و غیره با شاخص ویت محدود یا خطی با ابعاد محدود) بر روی یک میدان دلخواه یا میدان اریب تعریف می‌شوند. (مثلاً اگر میدان اریب در مرکز آن ابعاد نامتناهی داشته باشد، اینها جبری نیستند.) ساختمان های مختلط عجیب تر هستند. آنها به گروه هایی مربوط می شوند که به نوعی گروه های جبری هستند که روی یک جفت فیلد k و K از مشخصه p تعریف شده اند، که در آن KP eke K و p دو یا (در یک مورد) سه هستند.

Spherical buildings are certain combinatorial simplicial complexes intro­ duced, at first in the language of "incidence geometries," to provide a sys­ tematic geometric interpretation of the exceptional complex Lie groups. (The definition of a building in terms of chamber systems and definitions of the various related notions used in this introduction such as "thick," "residue," "rank," "spherical," etc. are given in Chapter 39. ) Via the notion of a BN-pair, the theory turned out to apply to simple algebraic groups over an arbitrary field. More precisely, to any absolutely simple algebraic group of positive rela­ tive rank £ is associated a thick irreducible spherical building of the same rank (these are the algebraic spherical buildings) and the main result of Buildings of Spherical Type and Finite BN-Pairs [101] is that the converse, for £ ::::: 3, is almost true: (1. 1) Theorem. Every thick irreducible spherical building of rank at least three is classical, algebraic' or mixed. Classical buildings are those defined in terms of the geometry of a classical group (e. g. unitary, orthogonal, etc. of finite Witt index or linear of finite dimension) over an arbitrary field or skew-field. (These are not algebraic if, for instance, the skew-field is of infinite dimension over its center. ) Mixed buildings are more exotic; they are related to groups which are in some sense algebraic groups defined over a pair of fields k and K of characteristic p, where KP eke K and p is two or (in one case) three.