Monotone Matrix Functions and Analytic Continuation

یک تابع Pick تابعی است که در نیمه صفحه بالایی با قسمت خیالی مثبت تحلیلی است. در قسمت اول این کتاب سعی می کنیم گزارشی خوانا از این دسته از توابع و همچنین یکی از اثبات های استاندارد قضیه طیفی بر اساس ویژگی های این کلاس ارائه دهیم. در ادامه کتاب به موضوعی نزدیک می‌پردازیم: نظریه لونر در مورد توابع ماتریس یکنواخت و قضیه ادامه تحلیلی او که تضمین می‌کند که یک تابع واقعی در بازه‌ای از محور واقعی که تابع ماتریس یکنواخت با مرتبه بالا دلخواه است، محدودیت است. به آن بازه یک تابع Pick. در سال های اخیر این قضیه با قضیه لونر- فیتز جرالد تکمیل شده است و شرایط لازم و کافی را فراهم می کند که ادامه ارائه شده توسط قضیه لونر یک ظرفیتی باشد. برای اینکه ارائه ما باید تا حد امکان کامل و شفاف باشد، فصل‌های کوتاهی را به هم پیوسته‌ایم که شامل شکل‌گیری در مورد بازتولید هسته‌ها، ماتریس‌های تقریبا مثبت و کلاس‌های خاصی از نگاشت‌های منسجم مورد نیاز برای اثبات ما است.

A Pick function is a function that is analytic in the upper half-plane with positive imaginary part. In the first part of this book we try to give a readable account of this class of functions as well as one of the standard proofs of the spectral theorem based on properties of this class. In the remainder of the book we treat a closely related topic: Loewner's theory of monotone matrix functions and his analytic continuation theorem which guarantees that a real function on an interval of the real axis which is a monotone matrix function of arbitrarily high order is the restriction to that interval of a Pick function. In recent years this theorem has been complemented by the Loewner-FitzGerald theorem, giving necessary and sufficient conditions that the continuation provided by Loewner's theorem be univalent. In order that our presentation should be as complete and trans­ parent as possible, we have adjoined short chapters containing the in­ formation about reproducing kernels, almost positive matrices and certain classes of conformal mappings needed for our proofs.