Monomial Ideals, Computations and Applications

این اثر سه جنبه مهم از آرمان‌های یکپارچه‌ها را در سه فصل «تجزیه‌های استنلی» نوشته یورگن هرتزوگ، «ایده‌آل‌های لبه» نوشته آدام ون تویل و «هم‌شناسی محلی» اثر جوزپ آلوارز مونتانر پوشش می‌دهد. این فصل ها که توسط کارشناسان برتر نوشته شده اند، شامل آموزش های کامپیوتری هستند که بر جنبه های محاسباتی حوزه های مربوطه تاکید دارند. آرمان ها و جبرهای یکپارچه به یک معنا از ساده ترین ساختارها در جبر جابجایی و اشیاء اصلی جبر جابجایی ترکیبی هستند. همچنین، آنها حداقل به سه دلیل از اهمیت اساسی برخوردار هستند. اولاً، نظریه پایه گروبنر به ما اجازه می‌دهد تا با استفاده از ایده‌آل‌های تک‌جمله‌ای، مسائل خاصی را در مورد ایده‌آل‌های چندجمله‌ای عمومی بررسی کنیم. ثانیاً، ساختار ترکیبی آرمان‌های یکپارچه آنها را به ساختارهای ترکیبی دیگر متصل می‌کند و به ما اجازه می‌دهد تا با استفاده از تکنیک‌های هر یک از حوزه‌های مربوطه، مسائل را در هر دو طرف این مطابقت حل کنیم. و ثالثاً، ماهیت ترکیبی ایده‌آل‌های یکپارچه نیز آنها را برای توسعه الگوریتم‌هایی مناسب می‌سازد تا با آنها کار کنند و سپس الگوریتم‌هایی را برای ساختارهای کلی‌تر تولید کنند.

This work covers three important aspects of monomials ideals in the three chapters "Stanley decompositions" by Jürgen Herzog, "Edge ideals" by Adam Van Tuyl and "Local cohomology" by Josep Álvarez Montaner. The chapters, written by top experts, include computer tutorials that emphasize the computational aspects of the respective areas. Monomial ideals and algebras are, in a sense, among the simplest structures in commutative algebra and the main objects of combinatorial commutative algebra. Also, they are of major importance for at least three reasons. Firstly, Gröbner basis theory allows us to treat certain problems on general polynomial ideals by means of monomial ideals. Secondly, the combinatorial structure of monomial ideals connects them to other combinatorial structures and allows us to solve problems on both sides of this correspondence using the techniques of each of the respective areas. And thirdly, the combinatorial nature of monomial ideals also makes them particularly well suited to the development of algorithms to work with them and then generate algorithms for more general structures.