Momentum Maps and Hamiltonian Reduction

استفاده از تقارن ها و قوانین بقا در توصیف کیفی دینامیک سابقه طولانی دارد که به بنیانگذاران مکانیک کلاسیک باز می گردد. در برخی موارد، تقارن‌ها در یک سیستم دینامیکی می‌تواند برای ساده‌سازی توصیف سینماتیکی آن از طریق یک روش مهم که در طول سال‌ها تکامل یافته و به طور کلی به عنوان کاهش شناخته می‌شود، استفاده شود. تمرکز این کار ارائه‌ای جامع و مستقل از ارتباط نزدیک بین تقارن‌ها، قوانین حفاظت و کاهش است، و به طور مفصل به حالت منحصر به فرد پرداخته می‌شود.

این نمایشگاه به بررسی می‌پردازد. پیش نیازهای لازم، که با مقدمه ای بر تقارن دروغ در پواسون و منیفولدهای سمپلتیک شروع می شود. این با بحث در مورد نقشه‌های تکانه و هندسه قوانین حفاظتی که در توسعه کاهش ساده استفاده می‌شوند، دنبال می‌شود. قضیه Slice Symplectic، ابزار مهمی که منجر به اولین توصیف فضاهای کاهش‌یافته منفرد شد، همچنین به طور مفصل مورد بررسی قرار می‌گیرد، و همچنین معادلات بازسازی که در کاربردهای مطالعه سیستم‌های مکانیکی متقارن بسیار مهم بوده‌اند. قسمت آخر کتاب شامل مباحث پیشرفته تری است، مانند طبقه بندی های سمپلتیک، کاهش بهینه و پواسون، کاهش منفرد بر حسب مراحل، دوبرگی و جفت دوتایی. جهات مختلف پژوهشی ممکن در مقدمه و در سراسر متن اشاره شده است. کتابشناسی گسترده و نمایه ای مفصل کار را کامل می کند.

این تک نگاری برنده جایزه Ferran Sunyer i Balaguer اولین ارائه مستقل و کامل از نظریه کاهش همیلتونی در حضور تکینگی ها است. این می تواند به عنوان منبعی برای دوره های تحصیلات تکمیلی و سمینارهای هندسه سمپلتیک و پواسون، مکانیک، نظریه دروغ، فیزیک ریاضی، و به عنوان یک منبع مرجع جامع برای محققان باشد.

The use of symmetries and conservation laws in the qualitative description of dynamics has a long history going back to the founders of classical mechanics. In some instances, the symmetries in a dynamical system can be used to simplify its kinematical description via an important procedure that has evolved over the years and is known generically as reduction. The focus of this work is a comprehensive and self-contained presentation of the intimate connection between symmetries, conservation laws, and reduction, treating the singular case in detail.

The exposition reviews the necessary prerequisites, beginning with an introduction to Lie symmetries on Poisson and symplectic manifolds. This is followed by a discussion of momentum maps and the geometry of conservation laws that are used in the development of symplectic reduction. The Symplectic Slice Theorem, an important tool that gave rise to the first description of symplectic singular reduced spaces, is also treated in detail, as well as the Reconstruction Equations that have been crucial in applications to the study of symmetric mechanical systems. The last part of the book contains more advanced topics, such as symplectic stratifications, optimal and Poisson reduction, singular reduction by stages, bifoliations and dual pairs. Various possible research directions are pointed out in the introduction and throughout the text. An extensive bibliography and a detailed index round out the work.

This Ferran Sunyer i Balaguer Prize-winning monograph is the first self-contained and thorough presentation of the theory of Hamiltonian reduction in the presence of singularities. It can serve as a resource for graduate courses and seminars in symplectic and Poisson geometry, mechanics, Lie theory, mathematical physics, and as a comprehensive reference resource for researchers.